[7급 국가직 전달현상 2024년 15번]

벽면으로부터 일정한 열 플럭스(heat flux)가 입사되는 원형관 내부에 유체가 관 단면에 걸쳐 균일한 속도($v_r$ ＝ 0, $v_{\theta }$ ＝ 0, $v_z$ ＝ $U_0$)로 흐른다. 원형관의 반경은 $r_0$, 유체의 열 확산도는 $\alpha$, 관 표면 온도는 $T_{\mathrm{s}}(z)$이다. 원형관 내부의 에너지 방정식이 다음과 같을 때, 관 내부의 열적으로 완전발달된 유체의 온도 분포 $T(r,z)$를 나타낸 식은? (단, 유체는 비점성, 비압축성 정상흐름이고, 유체의 물성은 온도에 따라 변하지 않으며, $\frac{\partial T}{\partial z}=C$($C$는 상수)이다)

$\frac{\partial T}{\partial t}+v_r\frac{\partial T}{\partial r}+\frac{v_{\theta }}{r}\frac{\partial T}{\partial \theta }+v_z\frac{\partial T}{\partial z}=\alpha \left\{\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial {\theta }^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial z^2}\right\}$

$t$는 시간, ($r$, $\theta$, $z$)는 원통형 좌표임