변수 X와 Y 간의 공분산 및 피어슨 적률상관계수에 관한 설명으로 옳은 것을 모두 고른 것은?
ㄱ. X의 분산이 0이면 X와 Y 간의 공분산은 항상 0이다.
ㄴ. X와 Y 간의 피어슨 적률상관계수가 0.5이면, X는 Y의 분산 중 25%를 설명할 수 있다.
ㄷ. X와 Y를 백분위로 변환하더라도 변환된 두 변수 간의 피어슨 적률상관계수는 변하지 않는다.
- ①ㄱ
- ②ㄷ
- ③ㄱ, ㄴ
- ④ㄴ, ㄷ
- ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ
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정답 ③ — 분산이 0인 변수는 모든 값이 같으므로 다른 변수와의 공분산도 0이다. 상관계수 0.5의 제곱은 0.25로, 단순회귀에서 설명되는 분산의 비율은 25%이다. 백분위 변환은 상관계수를 보존하지 않는다.
선지별 오답 이유
- ① 공분산만 포함하여 설명률에 관한 옳은 진술을 빠뜨렸다. 상관계수를 제곱하면 단순회귀의 결정계수 0.25가 된다.
- ② 백분위 변환은 일반적으로 비선형 변환이므로 피어슨 상관계수가 달라질 수 있다. 따라서 이 진술만으로는 정답이 될 수 없다.
- ③ 분산이 0이면 모든 편차가 0이어서 공분산도 0이다. 또한 단순회귀의 결정계수는 상관계수의 제곱이므로 두 진술 모두 성립한다.
- ④ 설명률 계산은 맞지만, 백분위 변환 뒤에도 피어슨 상관계수가 유지된다는 주장은 일반적으로 성립하지 않는다.
- ⑤ 공분산과 설명률에 관한 판단은 맞지만, 백분위 변환에 관한 진술이 틀려 세 진술을 모두 고를 수 없다.
관련 개념
공분산은 두 변수의 평균으로부터의 편차를 곱한 값에 기초한다. 한 변수의 분산이 0이면 그 변수의 편차도 모두 0이다.
피어슨 상관계수 의 제곱인 은 단순선형회귀에서 결정계수와 같다. 따라서 이면 이다.
피어슨 상관계수는 양의 선형 변환에서 유지된다. 백분위 변환은 순위에 따른 비선형 변환이므로 원래의 상관계수가 그대로 유지된다고 할 수 없다.
피어슨 상관계수 의 제곱인 은 단순선형회귀에서 결정계수와 같다. 따라서 이면 이다.
피어슨 상관계수는 양의 선형 변환에서 유지된다. 백분위 변환은 순위에 따른 비선형 변환이므로 원래의 상관계수가 그대로 유지된다고 할 수 없다.
출처: 한국산업인력공단, Q-Net 자료실 · 공공누리 제1유형 · AI 해설 · 자동 검증 통과