7급 국가직 통계학 2012년 기출문제

다음은 어느 확률변수의 확률밀도함수이다. 이 확률변수의 평균(mean), 중앙값(median), 최빈값(mode)의 크기를 바르게 표현한 것은?

두 확률변수 $X$와 $Y$의 표준편차는 각각 ${\sigma }_x$와 ${\sigma }_y$이고 $X$와 $Y$의 상관계수가 0.5일 때, $Var\left(\frac{X}{{\sigma }_x}-\frac{Y}{{\sigma }_y}\right)$의 값은? (단, ${\sigma }_x>0$이고 ${\sigma }_y>0$이다)

어느 회사에서 업무교육의 성과를 평가하기 위해 임의추출한 직원 8명에 대해 업무교육 전후의 업무평가점수를 조사한 결과가 다음과 같다.

	표본평균	표본표준편차
업무교육 전 점수	76	6
업무교육 후 점수	82	4
차이	6	2

위 표에서 차이는 업무교육 후의 점수에서 업무교육 전의 점수를 뺀 값이다. 업무교육 후 업무평가 점수가 증가했는지를 검정하기 위한 검정통계량의 값과 자유도는? (단, 각 직원의 교육 전후의 업무평가점수 차이는 동일한 정규분포를 따른다고 가정한다)

검정통계량의 값 자유도

두 변수 $X$와 $Y$의 표본상관계수 $r$에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르면?

ㄱ. $r$는 $0$ 이상 $1$ 이하이다.

ㄴ. $Y=X^2$의 관계가 있으면 $r=1$이다.

ㄷ. $X$가 설명변수(또는 독립변수), $Y$가 반응변수(또는 종속변수)인 절편 있는 단순선형회귀모형에서 얻은 결정계수는 $r^2$과 같다.

3종의 밀과 4종의 비료가 밀의 수확량에 미치는 영향을 조사하기 위해 밀의 품종과 비료의 종류에 대한 12가지 조합마다 3회씩 모두 36회 실험을 실시했다. 36회 실험의 순서는 임의로 정했다. 이 실험의 결과에 이원배치 분산분석법(two-way analysis of variance)을 적용하여 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때, ㉠ ＋ ㉡ ＋ ㉢의 값은?

요인	제곱합	F 비
밀의 품종	12	㉠
비료의 종류	60	㉡
교호작용	24	㉢
오차	48
합계	144

다음은 두 확률변수 $X$와 $Y$의 결합확률분포이다.

$Y$ $X$	0	1	2	3
0	$\frac{1}{8}$	$0$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$
1	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$0$

확률변수 $Y$가 주어졌을 때 확률변수 $X$의 조건부 기댓값 $E(X|Y)$에 대한 기댓값 $E\left[E(X|Y)\right]$는?

어느 병원에서 위암을 진단하기 위해 검사 장비를 새로 도입하였다. 이 장비는 위암에 걸린 사람을 위암에 걸렸다고 진단할 확률이 0.9이고, 위암에 걸리지 않은 사람을 위암에 걸리지 않았다고 진단할 확률이 0.7이다. 전 국민의 10 %가 위암에 걸려있다고 할 때, 이 장비에 의해 위암에 걸렸다고 진단 받은 사람이 실제로 위암에 걸렸을 확률은?

확률변수 $X$는 시행횟수가 5이고 성공확률이 $p$인 이항분포를 따른다. 성공확률 $p$에 대한 가설 $H_0:p=0.4$ 대 $H_1:p>0.4$의 기각역이 ‘$X\ge 5$’일 때, 성공확률 $p=0.5$에서의 검정력(power)은?

어느 지역에서 성별에 따라 흡연비율이 다른지를 알아보기 위해 남자 100명과 여자 80명을 임의추출하여 흡연 여부를 조사한 후 카이제곱검정을 실시하려고 한다. 이에 대한 설명으로 옳은 것은?

확률변수 $X$의 누적분포함수(cumulative distribution function) $F(x)$는 다음과 같다.

$F(x)=\{\begin{array}{llc}0,& & x<1\\ \frac{x}{2},& & 1\le x<2\\ 1,& & x\ge 2\end{array}$

확률변수 $X$의 기댓값 $E(X)$는?

20개 자료의 누적도수가 다음과 같을 때, 중앙값과 최빈값은?

자료값	누적도수
0	2
1	7
2	15
3	20

중앙값 최빈값

한 개의 동전을 2회 던지는 실험에서 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 $X$라고 할 때, 확률변수 $Y=(X-1{)}^2$의 기댓값 $E(Y)$는?

두 확률변수 $X$와 $Y$의 공분산이 0.4일 때, $X+1$과 $-2Y+2$의 공분산은?

어느 회사 직원들의 업무평가점수가 평균이 70점이고 표준편차가 10점인 정규분포를 따를 때, 하위 5 %에 해당하는 업무평가점수의 최댓값은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 $P(|Z|<1.645)=0.9$, $P(|Z|<1.96)=0.95$이다)

다음은 지역 A, B, C의 월 가계소득을 비교하기 위해 일원배치 분산분석법(one-way analysis of variance)을 실시하여 얻은 분산분석표의 일부이다.

요인	제곱합	F 비
지역		㉡
오차	㉠
합계

위 분석에 사용된 자료에서 지역 A, B, C의 월 가계소득의 표본평균은 각각 280만원, 310만원, 340만원이다. 지역 C의 모든 관측값들이 50만원씩 증가할 때, ㉠과 ㉡의 변화에 대한 설명으로 옳은 것은?

어느 지역 19세 이상 성인의 흡연율이 70 %보다 높다는 주장을 이항분포의 정규분포 근사를 이용하여 검정하려고 한다. 이 지역에서 19세 이상 성인 1,000명을 임의추출하고 흡연자 비율을 구하여 검정통계량의 값을 계산한 결과가 1.81일 때, p-값(유의확률)은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때 $P(|Z|<1.645)=0.9$, $P(|Z|<1.96)=0.95$이다)

설명변수(또는 독립변수)가 $X$이고 반응변수(또는 종속변수)가 $Y$인 단순선형회귀모형에 대한 추정회귀식이 $\hat{y}=1+2x$이다. 변수 $X$의 표본평균이 2일 때, 옳은 것을 모두 고르면?

ㄱ. $Y$의 표본평균은 $5$이다.

ㄴ. $X$와 $Y$의 표본상관계수는 양수이다.

ㄷ. $x=2$에서의 $E(Y)$에 대한 추정량의 표준오차는 $x=4$에서의 $E(Y)$에 대한 추정량의 표준오차보다 작다.

표본의 크기가 10인 자료에 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{\epsilon }_i$, $i=1,\dots ,10$을 적용하여 얻은 분산분석표가 다음과 같을 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, $x_i$는 고정된 값이고, ${\epsilon }_i$는 서로 독립이고 평균이 $0$, 분산이 ${\sigma }^2$인 정규분포를 따른다고 가정한다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱	F 비	p-값
회귀	1,000	㉠	㉢	㉣	㉤
오차	40	㉡
합계	1,040

어느 회사 직원들의 1년 간 지각횟수를 요일별로 정리한 결과가 다음과 같다.

요일	월	화	수	목	금	합계
지각횟수	25	10	25	15	25	100

이 회사 직원들의 지각횟수가 요일에 따라 차이가 있는지를 검정하는 카이제곱검정통계량의 값과 유의수준 5 %에서의 검정결과는? (단, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포의 $(1-\alpha )\times 100$번째 백분위수를 나타내고, ${\chi }_{0.05}^2(4)=9.49$, ${\chi }_{0.05}^2(5)=11.07$이다)

카이제곱검정통계량의 값 검정결과

불편추정량(unbiased estimator)에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르면?

ㄱ. 평균이 $\mu$이고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따르는 모집단에서 추출한 임의표본 $X_1,\dots ,X_n$의 표본평균은 $\mu$의 불편추정량이다.

ㄴ. 구간 $(\theta ,\theta +1)$에서 균일분포(uniform distribution)를 따르는 모집단에서 추출한 임의표본 $X_1,\dots ,X_n$의 표본평균은 $\theta$의 불편추정량이다.

ㄷ. 시행횟수가 $n$이고 성공확률이 $p$인 이항분포에서 얻은 확률표본 $X$에 대하여 $\frac{X}{n}$는 $p$의 불편추정량이다.