7급 국가직 통계학 2016년 기출문제

구간 $(-1,3)$에서 균일분포(uniform distribution)를 따르는 확률변수의 중앙값(median)과 사분위범위(interquartile range)는?

중앙값 사분위범위

$X_1$, …, $X_n$이 평균 $\mu$, 분산 ${\sigma }^2$인 정규모집단에서의 임의표본(random sample)일 때, ${\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2$의 평균과 분산은? (단, $n\ge 2$)

평균 분산

평균이 $\mu$, 분산이 ${\sigma }^2$인 무한모집단으로부터의 임의표본 $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$가 주어졌을 때, $\mu$에 대한 다음 추정량 중 분산이 가장 작은 것은? (단, ${\sigma }^2>0$)

표본의 크기가 $n$인 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i$, $i=1,\cdots ,n$에 대하여 최소제곱법으로 구한 추정식이 ${\hat{Y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{X}_i$이고 잔차가 $e_i=Y_i-{\hat{Y}}_i$일 때, 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. ${\sum }_{i=1}^n{e}_i=0$

ㄴ. ${\sum }_{i=1}^n{X}_i{e}_i=0$

ㄷ. ${\sum }_{i=1}^n{Y}_i{e}_i=0$

비료의 양($X$)이 곡물 수확량($Y$)에 미치는 영향을 알아보기 위해 자료를 수집하여 정리한 결과 $X$의 표본분산이 16, $Y$의 표본분산이 25이고 $X$와 $Y$의 표본상관계수가 0.8일 때, $X$를 독립변수(설명변수)로 하고 $Y$를 종속변수(반응변수)로 하여 최소제곱법으로 구한 추정 회귀직선의 기울기는?

어느 지역에서 남녀 40명씩을 무작위로 뽑아 음식 선호도를 조사한 결과가 표와 같다. 이 표를 바탕으로 남녀의 음식 선호도 간에 차이가 없다는 것을 귀무가설로 하여 유의수준 5 %에서 검정할 때, 카이제곱 검정통계량의 값과 검정 결과가 바르게 연결된 것은? (단, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포의 $100\times (1-\alpha )$번째 백분위수를 나타내고, ${\chi }_{0.05}^2(4)=9.49$, ${\chi }_{0.05}^2(9)=16.92$, ${\chi }_{0.05}^2(10)=18.31$이다)

음식 성별	A	B	C	D	E	합계
남	6	4	6	12	12	40
여	6	12	12	4	6	40

검정통계량의 값 검정 결과

다음은 반복수가 다른 일원배치법 모형이다.

○ $Y_{ij}=\mu +{\alpha }_i+{ϵ}_{ij},$ $i=1,\cdots ,k$, $j=1,\cdots ,n_i$

○ ${ϵ}_{ij}\sim N(0,{\sigma }^2)$이고 서로 독립, $i=1,\cdots ,k$, $j=1,\cdots ,n_i$

○ ${\sum }_{i=1}^k{n}_i{\alpha }_i=0$

위 모형에 대하여 기술한 것으로 옳지 않은 것은? (단, $n_i\ge 2$, $i=1,\cdots ,k$, $k\ge 2$이고, $n={\sum }_{i=1}^k{n}_i$, $\overline{Y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^k{\sum }_{j=1}^{n_i}{Y}_{ij}$, $\overline{Y_i}=\frac{1}{n_i}{\sum }_{j=1}^{n_i}{Y}_{ij}$이며 $F_{\alpha }({\nu }_1,{\nu }_2)$는 분자의 자유도가 ${\nu }_1$, 분모의 자유도가 ${\nu }_2$인 $F$ 분포의 $100\times (1-\alpha )$번째 백분위수를 나타낸다)

자유도가 $\nu$인 $t$ 분포의 $100\times (1-\alpha )$번째 백분위수는 $t_{\alpha }(\nu )$, 분자의 자유도가 1이고 분모의 자유도가 $\nu$인 $F$ 분포의 $100\times (1-\alpha )$번째 백분위수는 $F_{\alpha }(1,\nu )$로 나타낸다. $F_{\alpha }(1,\nu )=3$일 때 옳은 것은?

$X_1$, $X_2$, …, $X_{16}$이 평균 $\mu ,$ 분산 ${\sigma }^2$인 정규모집단에서의 임의표본일 때, 가설 $H_0:{\sigma }^2=30$ 대 $H_1:{\sigma }^2>30$을 유의수준 5 %에서 검정하기 위한 기각역(rejection region)은? (단, $\mu$는 미지의 모수이고 $\overline{X}=\frac{1}{16}{\sum }_{i=1}^{16}{X}_i$이며, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포의 $100\times (1-\alpha )$번째 백분위수를 나타낸다)

$X_1$, $X_2$, …, $X_n$이 서로 독립이고 구간 $(0,1)$에서 균일분포(uniform distribution)를 따른다 하자. 이 중 가장 작은 확률변수를 $Y$라 할 때, $0<y<1$에서 $Y$의 누적분포함수 $F(y)$는?

두 사건 $A$와 $B$에 대하여 $P(A)=0.3$이고 $P(A\cup B)=0.7$이다. $A$와 $B$가 독립이 되기 위한 $P(B)$의 값은?

두 확률변수 $X$와 $Y$의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때, 상수 $c$의 값은? (단, $\pi$는 원주율을 의미한다)

$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}c,& 1<x^2+y^2<9,x<y\\ 0,& \text{그}\text{밖의}\text{영역}\end{array}$

관측값 $x_1$, $x_2$, …, $x_{10}$을 다음과 같이 변환하였다.

$y_i=2x_i$, $z_i=x_i+10$, $i=1,2,\cdots ,10.$

$x_i$ 자료의 변동계수를 $C{V}_x$, $y_i$ 자료의 변동계수를 $C{V}_y$, $z_i$ 자료의 변동계수를 $C{V}_z$라 할 때, $C{V}_x$, $C{V}_y$, $C{V}_z$ 간의 대소관계가 옳은 것은? (단, $x_i>0$, $i=1,2,\cdots ,10$)

지수분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& x\le 0\end{array}$ , $\lambda >0$

어느 동사무소에 민원인이 도착하여 민원서류를 발급받기까지 기다리는 시간이 평균 2분인 지수분포를 따른다고 할 때, 한 민원인이 3분 이상 기다릴 확률은?

표본의 크기가 12인 어느 자료에 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i$, $i=1,2,\cdots ,12$를 적용하여 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때, 결정계수 $r^2$의 값은?

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$
회귀				15.0
오차(잔차)			4.0
합계

과거 연구에 따르면 병원에서 사망하는 사람들에 대한 사망원인 A, B, C, D, 기타의 비율이 각각 15 %, 20 %, 20 %, 30 %, 15 %라고 한다. 어떤 병원의 사망자 중 무작위로 뽑힌 200명의 사망원인별 분포가 다음과 같다.

사망원인	A	B	C	D	기타
사망자수	35	40	50	60	15

이 병원 사망자의 사망원인별 비율이 과거 연구 결과와 같다는 것을 귀무가설로 하여 유의수준 5 %에서 검정하고자 한다. 카이제곱 검정통계량의 자유도와 검정 결과가 바르게 연결된 것은? (단, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포의 $100\times (1-\alpha )$번째 백분위수를 나타내고, ${\chi }_{0.05}^2(4)=9.49$, ${\chi }_{0.05}^2(5)=11.07$이다)

검정통계량의 자유도 검정 결과

$X_1$과 $X_2$는 서로 독립이며 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, 옳지 않은 것은?

평균이 $\mu$, 분산이 4인 정규모집단으로부터 크기 10인 임의표본을 뽑아 가설 $H_0:\mu =28$ 대 $H_1:\mu >28$을 유의수준 $\alpha$에서 검정할 때, 모평균 $\mu =30$에서의 검정력(power)은? (단, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이고 $z_{\alpha }$는 표준정규분포의 $100\times (1-\alpha )$번째 백분위수를 나타낸다)

어느 지역에서 남자와 여자의 체질량지수 평균이 같은지 알아보기 위하여 남자 22명과 여자 10명을 무작위로 추출한 후 체질량지수를 조사한 결과가 다음과 같다. 일원배치 분산분석법을 적용하여 분산분석표를 작성할 때 오차평균제곱(잔차평균제곱)의 값은?

성별	$n$	표본평균	표본분산
남자	22	21.30	1.50
여자	10	20.90	0.80

다음 자료에 회귀모형 $Y_i=\beta X_i^2+{ϵ}_i$, $i=1,2,3,4$를 적용할 때, 최소제곱법에 의한 $\beta$의 추정값은?

$X$	-1	0	1	2
$Y$	3	1	4	14