7급 국가직 통계학 2014년 기출문제

평균이 ${\mu }_A$이고 분산이 ${\sigma }_A^2$인 정규모집단 A와 평균이 ${\mu }_B$이고 분산이 ${\sigma }_B^2$인 정규모집단 B의 분포가 다음과 같을 때, 두 정규모집단의 평균과 분산의 관계가 바르게 짝지어진 것은?

어느 연속확률변수의 확률밀도함수 $f(x)$가 다음과 같을 때, 상수 $a$의 값은?

$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax(1-x)& ,0\le x<1\\ 0,& x<0\text{또는}x\ge 1\end{array}$

표본상관계수가 $-0.7$인 자료 $(X_1,Y_1),\cdots ,(X_n,Y_n)$에 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i,i=1,\cdots ,n$을 적용하였을 때 결정계수의 값은? (단, ${ϵ}_i$는 서로 독립이며 평균이 $0$이고 분산이 ${\sigma }^2$인 정규분포를 따른다고 가정한다)

$X_1,X_2,\cdots ,X_{10}$을 평균 $\mu$, 분산 ${\sigma }^2$인 정규모집단에서의 임의표본(random sample)이라고 하자. 이들의 표본평균과 표본분산이 각각 $\overline{X}=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{X}_i$와 $S_{}^2=\frac{1}{9}{\sum }_{i=1}^{10}(X_i-\overline{X}{)}^2$일 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. $\frac{9S^2}{{\sigma }^2}$의 분포는 자유도가 $9$인 카이제곱분포를 따른다.

ㄴ. $\frac{\sqrt{10}(\overline{X}-\mu )}{S}$의 분포는 자유도가 $9$인 $t$분포를 따른다.

ㄷ. $\frac{10(\overline{X}-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}$의 분포는 자유도가 $10$인 카이제곱분포를 따른다.

두 분포 $f_0$와 $f_1$이 다음과 같을 때, 확률변수 $X$에 대한 가설 $H_0:$ “$X$는 $f_0$의 분포를 따른다.” 대 $H_1:$ “$X$는 $f_1$의 분포를 따른다.”를 검정하기 위해 하나의 $X$를 관측하고 이에 대한 기각역을 ‘$X=0$ 또는 $X=3$’으로 설정하였다. 이때, 제1종 오류를 범할 확률과 제2종 오류를 범할 확률은?

$X$	0	1	2	3	합계
$f_0$	0.2	0.1	0.3	0.4	1
$f_1$	0.3	0.3	0.3	0.1	1

제1종 오류를 범할 확률 제2종 오류를 범할 확률

표준정규분포를 따르는 두 확률변수 $Z_1$과 $Z_2$가 서로 독립일 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

표본의 크기가 $20$인 어느 자료에 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i$, $i=1,2,\cdots ,20$을 적용하여 얻은 결정계수 값이 $0.2$이다. 오차항 ${ϵ}_i$는 서로 독립이며 정규분포 $N(0,{\sigma }^2)$을 따른다고 할 때, 회귀모형의 유의성 검정을 위한 $F$통계량의 값과 유의수준 $5$ %에서 회귀모형의 유의 여부에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, $F_{\alpha }(m,n)$은 분자의 자유도가 $m$, 분모의 자유도가 $n$인 $F$분포의 $(1-\alpha )\times 100$번째 백분위수를 나타내고, $F_{0.05}(1,18)=4.41$, $F_{0.05}(1,19)=4.38$, $F_{0.05}(2,18)=3.55$, $F_{0.05}(2,19)=3.52$이다)

어느 지역에서 결혼 생활 중인 $200$명을 임의추출하여 결혼 생활 만족도와 교육 수준을 조사한 결과가 다음과 같을 때, 결혼 생활 만족도와 교육 수준과의 독립성 여부를 검정하기 위한 카이제곱검정통계량의 값과 유의수준 $5$ %에서의 임계치는? (단, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포의 $(1-\alpha )\times 100$번째 백분위수를 나타낸다)

결혼 생활 만족도 교육 수준	만족	불만족	합계
대학교	50	50	100
고등학교	20	30	50
중학교	30	20	50
합계	100	100	200

카이제곱검정통계량의 값 임계치

어느 공장에서 세 가지 공법에 의해 생산되는 금속가공품의 평균인장강도에 차이가 있는지 조사하기 위해 생산된 제품 가운데 각 공법당 5개씩 임의추출하고 인장강도를 측정하여 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때, ㉠과 ㉡의 값은?

요인	제곱합	자유도	$F$ 값
공법	100		㉡
오차	60	㉠

㉠ ㉡

서로 독립이고 구간 $(0,1)$에서 균일분포를 따르는 확률변수 $X_1,\cdots ,X_{10}$에 대해 확률변수 $U_i$를 다음과 같이 정의하였다.

$U_i=\{\begin{array}{ll}1,& X_i\le 0.1\\ 0,& X_i>0.1\end{array}$

$S=U_1+U_2+\cdots +U_{10}$일 때, $S$의 기댓값 $E(S)$는?

다음은 $23$개의 자료를 줄기 － 잎 그림(stem and leaf plot)으로 정리한 것이다. 중앙값, 산술평균, 최빈값, 범위 중 가장 큰 값은?

5	2 6 7 9
6	1 3 4 4 5 5 8 8 8 9
7	1 4 4 8 9
8	6 7
9	8
10	1

어느 대학의 학기별 성적에 대한 평점은 평균이 $2.95$이고 표준편차가 $0.5$인 정규분포를 따른다고 한다. 이 대학에서 학기별 성적이 상위 $10$ %에 해당하는 학생들에게 장학금을 지급할 때 한 학생이 장학금을 받기 위한 최소 평점은? (단, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이고, $P(Z<1.28)=0.9$이다)

다음과 같은 산점도를 갖는 각 자료들의 상관계수를 작은 것부터 순서대로 바르게 나열한 것은?

ㄱ. ㄴ.

ㄷ.

어느 공장에서 생산되는 쇠 파이프의 지름은 평균이 $\mu$이고 표준편차가 1인 정규분포를 따른다고 한다. 평균 $\mu$에 대한 가설 $H_0:\mu =20$ 대 $H_1:\mu \ne 20$을 검정하기 위해 임의추출한 $9$개의 쇠 파이프를 조사한 결과 지름의 표본평균이 $21$이었다. 이 검정에 대한 $p$ － 값(유의확률)은? (단, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다)

다음은 지역 $A$와 $B$에서 실시하는 복지 프로그램 대상자들의 평균연령에 차이가 있는지 알아보기 위해 두 지역에서 각각 50명의 복지 프로그램 대상자들을 임의추출하여 연령을 조사한 결과이다.

	A지역	B지역
표본평균	37	40
표본표준편차	7	9

두 지역의 복지 프로그램 대상자들의 평균연령에 차이가 있는지 알아보기 위한 검정통계량의 값은 $-1.86$이다. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $P(|Z|<1.96)=0.95$이고 $P(|Z|<1.645)=0.9$이다)

표본공간 $S$에서 정의된 사건 $A$와 $B$에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, $A^c$은 $A$의 여사건, $B^c$는 $B$의 여사건을 나타낸다)

ㄱ. $P(A\cap B^c)=P(A\cup B)-P(B)$

ㄴ. $P(A^c|B)=1-P(A|B)$

ㄷ. 사건 $A$와 사건 $B$가 서로 독립이면, 사건 $A^c$과 사건 $B$도 서로 독립이다.

단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i,i=1,2,\cdots ,n$에서 ${\beta }_0$와 ${\beta }_1$의 최소제곱추정량을 각각 $b_0$과 $b_1$이라고 할 때, 예측값 ${\hat{Y}}_i=b_0+b_1{X}_i$와 잔차 $r_i=Y_i-{\hat{Y}}_i$에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, $\overline{Y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{Y}_i$이고, ${ϵ}_i$는 서로 독립이며, 평균이 $0$이고, 분산이 ${\sigma }^2$인 정규분포를 따른다고 가정한다)

ㄱ. ${\sum }_{i=1}^n{r}_i{X}_i=0$

ㄴ. ${\sum }_{i=1}^n({\hat{Y}}_i-\overline{Y})r_i=0$

ㄷ. $\frac{{\sum }_{i=1}^n{r}_i^2}{n-1}$의 기댓값은 ${\sigma }^2$이다.

다음은 어느 지역에서 성별과 새로운 정책에 대한 지지 여부가 관련이 있는지 알아보기 위해 $1,000$명을 임의추출하여 조사한 결과이다. 이 조사에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

	찬성	미결정	반대
남자	250	100	50
여자	200	160	240

다음 그림은 반복수가 2인 이원배치법에서 요인 $A$의 수준이 $A1$, $A2$이고 요인 $B$의 수준이 $B1$, $B2$인 실험을 통해 얻은 결과에 대한 처리평균을 표시한 것이다. 그림 중 $B$의 주효과는 없고, $A$의 주효과와 $A$와 $B$의 교호작용(상호작용, interaction) 효과가 모두 있는 것은?

확률변수 $X$는 시행 횟수가 $n$이고 성공 확률이 $p$인 이항분포를 따른다고 한다. $E(X)=5$이고 $E(X^2)=29.5$일 때, $p$의 값은?