7급 국가직 통계학 2023년 기출문제

다음은 남학생과 여학생 각 $15$명의 통계학 성적을 줄기－잎 그림으로 나타낸 것이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

남학생		여학생
$2$ $1$	$5$	$4$ $5$
$5$ $4$ $3$	$6$	$6$ $7$ $8$
$8$ $4$ $3$ $2$ $1$	$7$	$4$ $5$ $6$ $7$
$2$ $1$	$8$	$1$ $4$ $5$
$5$ $4$ $3$	$9$	$6$ $7$ $8$

ㄱ. 중앙값은 남학생이 여학생보다 $3$점 작다.

ㄴ. 사분위수범위는 남학생과 여학생이 같다.

ㄷ. 표준편차는 여학생이 남학생보다 크다.

모집단 $\left\{2,4\right\}$로부터 임의추출한 확률변수 $X$와 모집단 $\left\{1,5\right\}$로부터 임의추출한 확률변수 $Y$에 대해 $X+Y$의 분산은? (단, $X$와 $Y$는 독립이다)

정규분포를 따르는 확률변수 $X,Y,W$의 평균과 분산은 다음과 같다.

확률변수	평균	분산
$X$	$2$	$4$
$Y$	$0$	$9$
$W$	$8$	$16$

다음 확률값을 작은 것부터 순서대로 바르게 나열한 것은?

ㄱ. $P(X\ge 1)$

ㄴ. $P(Y\le -2)$

ㄷ. $P(W\le 12)$

사건 $A$, $B$, $C$는 서로 독립이고 $P(A)$ ＝ $0.1$, $P(B)$ ＝ $0.2$, $P(C)$ ＝ $0.3$일 때, $P(A\cup B\cup C)$의 값은?

다음은 벼의 품종($A$)과 비료($B$)가 쌀 생산량에 영향을 미치는지를 알아보기 위하여 벼의 품종은 $a$개의 수준, 비료는 $b$개의 수준에서 반복이 없는 이원배치법을 적용하여 얻은 분산분석표의 일부이다. $a$와 $b$의 값을 바르게 연결한 것은?

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F-$값
인자 $A$	$20$		$4$	$2$
인자 $B$				$3$
오차
전체	$180$

$\underline{a}$ $\underline{b}$

통계부서에 근무하는 직원 $9$명의 지난 한 해 동안 출장 일수가 다음과 같이 조사되었다.

$10,20,30,40,60,70,70,70,80$

이 관측값을 $x_1,x_2,\cdots ,x_9$라고 할 때, ${\sum }_{i=1}^9(x_i-a{)}^2$을 최소로 하는 $a$의 값과 ${\sum }_{i=1}^9|x_i-b|$를 최소로 하는 $b$의 값을 바르게 연결한 것은?

$\underline{a}$ $\underline{b}$

다음 자료에 단순선형회귀모형 $Y_i$ ＝ ${\beta }_0$ ＋ ${\beta }_1{x}_i$ ＋ ${ϵ}_i$($i$ ＝ $1,2,3,4,5$)를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 ${\beta }_0$와 ${\beta }_1$의 추정값 $a$와 $b$의 값을 바르게 연결한 것은? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다)

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$Y$	$2$	$3$	$5$	$6$	$9$

$\underline{a}$ $\underline{b}$

검은 공이 $6$개, 흰 공이 $2$개 들어 있는 상자에서 갑과 을이 번갈아 가며 임의로 하나씩 공을 꺼낼 때 흰 공을 먼저 꺼낸 사람이 이기는 게임을 한다. 이때 꺼낸 공을 다시 집어넣고 게임을 하는 방법(게임 $A$)과 꺼낸 공을 다시 집어넣지 않고 게임을 하는 방법(게임 $B$)을 고려할 수 있다. 첫 번째 공을 갑이 꺼낸다고 했을 때 게임 $A$에서 갑이 이길 확률($P_A$)과 게임 $B$에서 갑이 이길 확률($P_B$)의 차 $P_A-P_B$의 값은?

$Z_1,Z_2,\cdots ,Z_6$이 표준정규분포로부터의 임의표본일 때, 다음 식을 만족하는 상수 $c$의 값은? (단, $F_{\alpha }(k_1,k_2)$는 분자와 분모의 자유도가 각각 $k_1$과 $k_2$인 $F$분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타낸다)

$P\left(\frac{Z_1^2+Z_2^2}{Z_3^2+Z_4^2+Z_5^2+Z_6^2}<c\right)$ ＝ $0.05$

연속형 확률변수 $X$와 $Y$의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때 $P\left(Y<\frac{1}{2}|X>\frac{1}{2}\right)$의 값은?

$f_{X,Y}(x,y)=\{\begin{array}{ll}12xy(1-x)& ,0<x<1,0<y<1\\ 0,& \text{그}\text{외}\end{array}$

혈압약 $A$와 $B$의 효과를 비교하기 위해 고혈압 환자에서 임의추출한 $100$명 중 임의로 $50$명을 선택하여 혈압약 $A$를 투여하고, 나머지 $50$명에게는 혈압약 $B$를 투여한 결과는 다음과 같다.

효과 혈압약	있음	없음
$A$	$37$	$13$
$B$	$27$	$23$

“두 혈압약의 효과는 차이가 없다.”는 가정하에서 혈압약 $A$를 투여한 후 효과가 있는 고혈압 환자수의 기대도수는?

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$은 구간이 $(2,4)$인 균일분포(uniform distribution)로부터의 임의표본이다. $n$이 무한히 커질 때 통계량 ${\hat{\theta }}_n$ ＝ $\frac{n}{{\sum }_{i=1}^n{X}_i}$이 확률적으로 수렴하는 값은?

나무 $30$그루에서 측정한 나무둘레($Y$), 나무높이($x_1$), 나무부피($x_2$)의 자료에 다중선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1i}+{\beta }_2{x}_{2i}+{ϵ}_i$를 적합한 결과의 일부는 다음과 같다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다)

Coefficients:
	Estimate	Std. Error	t value	Pr(>|t|)
(Intercept)	10.53105	1.87281	5.623	5.74e-06
$x_1$	－0.04515	0.02675	－1.688	0.103
$x_2$	0.20578	0.01157	17.781	< 2e-16
---
Residual standard error: 0.7481 on ( ) degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9369, Adjusted R-squared: 0.9323 F-statistic: 200.5 on ( ) and ( ) DF, p-value: < 2.2e-16

ㄱ. 유의수준 $5$ %에서 나무부피($x_2$)가 주어졌을 때, 나무둘레($Y$)에 대해 나무높이($x_1$)는 유의한 설명변수이다.

ㄴ. 유의수준 $5$ %에서 나무높이($x_1$)가 주어졌을 때, 나무부피($x_2$)가 증가할수록 나무둘레($Y$)는 증가한다.

ㄷ. 잔차제곱합의 자유도는 $29$이다.

절삭 방법 $A$, $B$, $C$가 가공 속도에 영향을 미치는지 알아보기 위해 절삭 방법 $A$, $B$, $C$에서 각각 $6$, $7$, $8$회 실험한 결과를 분석하여 얻은 분산분석표의 일부는 다음과 같다. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

요인	제곱합	자유도	$F$－값	$p$－값
처리		(가)	(나)	(다)
오차	$36$	(라)
전체	$40$

유의수준과 $p$－값(유의확률)에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

변수 $X$와 $Y$에 대한 자료 $(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots ,6)$에서 $X$와 $Y$의 표본평균은 각각 $3$과 $4$이고, $X$와 $Y$의 표본표준편차는 $1$로 동일하다. 이 자료에 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{ϵ}_i$를 적합하여 얻은 ${\beta }_1$의 최소제곱추정값이 $0.5$일 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다)

ㄱ. ${\beta }_0$의 최소제곱추정값은 $2.5$이다.

ㄴ. 잔차제곱합의 자유도는 $4$이다.

ㄷ. 결정계수$(R^2)$는 $0.25$이다.

지역 $A$, $B$, $C$에서 특정 정책에 대한 지지 여부를 조사한 결과가 다음과 같을 때, 지역과 지지 여부의 독립성을 검정하기 위한 카이제곱 검정통계량의 값과 유의수준 $5$ %에서의 검정결과를 바르게 연결한 것은? (단, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱 분포의 제$100$ × ($1$ － $\alpha$) 백분위수를 나타내고, ${\chi }_{0.05}^2(1)$ ＝ $3.84$, ${\chi }_{0.05}^2(2)$ ＝ $5.99$, ${\chi }_{0.05}^2(6)$ ＝ $12.59$이다)

지지 여부 지역	지지함	지지하지 않음
$A$	$30$	$20$
$B$	$40$	$10$
$C$	$50$	$50$

카이제곱 검정통계량의 값 검정결과

확률변수 $X$에 대하여 $E(X)$ ＝ $\frac{1}{p}$이고 $Var(X)$ ＝ $\frac{1-p}{p^2}$일 때, $Var(X)$의 불편추정량은?

평균이 $\mu$이고 분산은 ${\sigma }^2=144$인 모집단으로부터 $64$개의 표본을 임의추출하여 가설 $H_0:\mu =30$ 대 $H_1:\mu >30$를 유의수준 $5$ %에서 검정하고자 한다. $\mu =39$에서 제$2$종 오류를 범할 확률은? (단, $z_{\alpha }$는 표준정규분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수이다)

$n$개의 자료 ($x_i$, $y_i$)에 단순선형회귀모형 $Y_i$ ＝ ${\beta }_0$ ＋ ${\beta }_1{x}_i$ ＋ ${ϵ}_i$를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 회귀식은 $\widehat{y_i}$ ＝ $2$ ＋ $3x_i$이었다. 이 회귀식에 대한 회귀제곱합은 $640$이고 잔차제곱합은 $360$이었다. 자료 ($x_i$, $y_i$)를 $x_i^{\ast }$ ＝ $1$ ＋ $3x_i$, $y_i^{\ast }$ ＝ $5$ － $\frac{y_i}{10}$로 변환하여 단순선형회귀모형 $Y_i^{\ast }$＝${\gamma }_0$ ＋ ${\gamma }_1{x}_i^{\ast }$ ＋ ${\eta }_i$를 적합하였을 때, ${\gamma }_1$의 최소제곱추정값과 ($x_i^{\ast }$, $y_i^{\ast }$)의 표본상관계수를 바르게 연결한 것은? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }_{ϵ}^2)$을 따르고 서로 독립이며, ${\eta }_i$는 $N(0,{\sigma }_{\eta }^2)$을 따르고 서로 독립이다)

${\gamma }_1$의 최소제곱추정값 $(x_i^{\ast },y_i^{\ast })$의 표본상관계수

$X_1,X_2,\cdots ,X_{10}$이 정규분포 $N(\mu ,{\sigma }^2)$으로부터의 임의표본일 때, $\mu$와 ${\sigma }^2$에 대한 $95$ % 신뢰구간에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. ${\sigma }^2$이 알려져 있는 경우 정규분포를 사용한 $\mu$에 대한 신뢰구간의 길이는 $X_1,X_2,\cdots ,X_{10}$의 값에 관계없이 일정하다.

ㄴ. ${\sigma }^2$이 알려져 있지 않은 경우 $\mu$에 대한 신뢰구간의 길이는 $X_1,X_2,\cdots ,X_{10}$의 값에 관계없이 일정하다.

ㄷ. $\mu$가 알려져 있지 않은 경우 ${\sigma }^2$에 대한 신뢰구간의 길이는 $X_1,X_2,\cdots ,X_{10}$의 값에 관계없이 일정하다.

당뇨병 환자 중 임의로 $15$명(집단 $A$)과 $10$명(집단 $B$)을 선택하여 집단 $A$에게 신약을 처방한 후에 얻은 혈당 개선 효과 자료 $\{x_1,x_2,\cdots ,x_{15}\}$와 집단 $B$에게 위약을 처방한 후에 얻은 혈당 개선 효과 자료 $\left\{y_1,y_2,\cdots ,y_{10}\right\}$을 다음과 같이 요약하였다.

○ $\overline{x}=\frac{1}{15}{\sum }_{i=1}^{15}{x}_i$

○ $\overline{y}=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{y}_i$

○ $s_P=\sqrt{\frac{1}{23}\left({\sum }_{i=1}^{15}(x_i-\overline{x}{)}^2+{\sum }_{i=1}^{10}(y_i-\overline{y}{)}^2\right)}$

집단 $A$와 $B$의 평균 혈당 개선 효과 ${\mu }_A$와 ${\mu }_B$에 대한 가설 $H_0$ : ${\mu }_A$ ＝ ${\mu }_B$ 대 $H_1$ : ${\mu }_A$ $>$ ${\mu }_B$를 유의수준 $\alpha$에서 검정하고자 한다. 이에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, 집단 $A$와 $B$의 혈당 개선 효과는 분산이 동일한 정규분포를 따르고, $t_{\alpha }(k)$는 자유도가 $k$인 $t$분포의 제$100$ × ($1$ － $\alpha$) 백분위수이며, $s_P>0$이다)

변수 $X$와 $Y$의 자료 $(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots ,20)$에서 $X$의 표본평균은 $1$이고 표본분산은 $3$이다. 이 자료에 단순선형회귀모형 $Y_i$ ＝ $\beta x_i$ ＋ ${ϵ}_i$를 적합시킨 $\beta$의 최소제곱추정량의 분산은? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,1)$을 따르고 서로 독립이다)

확률밀도함수가 다음과 같은 임의표본 $X_1$, $X_2$, $X_3$의 중앙값을 $M$이라 할 때, $P\left(M<\frac{1}{2}\right)$의 값은?

$f(x)=\{\begin{array}{l}2-2x,0<x<1\\ \\ 0,\text{그}\text{외}\end{array}$

반복수가 동일한 이원배치법에서 인자 $A$의 수준이 $A1$, $A2$이고 인자 $B$의 수준이 $B1$, $B2$인 실험을 통해 얻은 결과의 분산분석표는 다음과 같다.

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$－값	$p$－값
인자 $A$	$784$	$1$	$784$	$26.13$	$0.0003$
인자 $B$	$16$	$1$	$16$	$0.53$	$0.4792$
교호작용($A\times B$)	$400$	$1$	$400$	$13.3$	$0.0033$
오차	$360$	$12$	$30$
전체	$1560$	$15$

인자의 수준 조합에서 반응변수 평균을 나타낸 그림 중 분산분석표의 결과와 부합하는 것은? (단, 유의수준은 $5$ %이다)