7급 국가직 통계학 2011년 기출문제

어떤 양적 자료에 대한 상자그림(box plot)으로부터 알 수 없는 통계량은?

두 이산확률변수 $X$와 $Y$의 결합확률분포가 다음과 같을 때, $X$와 $Y$ 사이의 상관계수는?

$Y$ $X$	－1	0	1
－1	0	$\frac{1}{3}$	0
0	0	0	$\frac{1}{3}$
1	$\frac{1}{3}$	0	0

어느 자동차 보험회사는 모든 고객을 사고위험군과 비사고위험군으로 분류하며, 30 %의 고객이 사고위험군에 속한다고 한다. 사고위험군에 속한 고객 중에서 보험에 가입한 지 1년 이내에 보험료를 청구할 확률은 0.4, 비사고위험군에 속한 고객 중에서 보험에 가입한 지 1년 이내에 보험료를 청구할 확률은 0.2이다. 이 회사의 고객이 보험에 가입한 지 1년 이내에 보험료를 청구하였을 때, 이 고객이 사고위험군에 속할 확률은?

어떤 지역의 백화점 A와 B를 이용하는 고객의 나이는 분산이 각각 48과 50인 정규분포를 따른다고 한다. 백화점 A를 이용하는 고객 중 12명, 백화점 B를 이용하는 고객 중 10명을 임의추출하였을 때 나이의 표본평균은 각각 40과 34이며, 두 표본은 서로 독립이다. 백화점 A를 이용하는 고객의 평균나이를 ${\mu }_A$, 백화점 B를 이용하는 고객의 평균나이를 ${\mu }_B$라 할 때, ${\mu }_A-{\mu }_B$에 대한 95 % 신뢰구간은? (단, $z{}_{\alpha }$와 $t_{\alpha }(k)$는 각각 표준정규분포와 자유도가 $k$인 $t$분포의 $(1-\alpha )\times 100$번째 백분위수를 나타낸다)

평균이 $\mu$이고 분산이 ${\sigma }^2$인 정규모집단에서의 임의표본 $X_1,X_2,\dots ,X_n$에 대하여 $\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$이고 $S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$일 때, 다음 중 옳은 것으로만 묶인 것은? (단, 표본의 크기 $n$은 1보다 크다)

ㄱ. $\overline{X}$와 $S^2$은 서로 독립이다.

ㄴ. $\overline{X}$는 평균이 $\mu$이고 분산이 ${\sigma }^2$인 정규분포를 따른다.

ㄷ. $S^2$은 ${\sigma }^2$의 불편추정량(unbiased estimator)이다.

ㄹ. 확률변수 $\frac{n{S}^2}{{\sigma }^2}$은 자유도가 $n$인 카이제곱분포를 따른다.

확률변수 $X$와 $Y$의 표준편차는 각각 2와 5이고 두 확률변수 $X$와 $Y$ 사이의 상관계수가 $-\frac{1}{2}$일 때, $X$와 $Y$ 사이의 공분산은?

설명변수(또는 독립변수)를 $X$, 반응변수(또는 종속변수)를 $Y$로 하는 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i,i=1,\dots ,n$에서 다음통계량을 이용하여 구한 결정계수(coefficient of determination)는?

$n=5,\overline{X}=1,{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2=10,\overline{Y}=2,{\sum }_{i=1}^n{Y}_i^2=30,{\sum }_{i=1}^n{X}_i{Y}_i=5$

두 인자 A와 B는 각각 세 가지 수준을 가지며, 두 인자의 아홉 가지 수준조합별로 두 번씩 반복실험을 하여 반응변수에 미치는 효과를 알아보고자 한다. 이원배치 분산분석법(two-way analysis of variance)을 적용하여 얻은 분산분석표의 일부는 다음과 같다. 반응변수에 미치는 효과에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, $F_{\alpha }(m,n)$은 분자의 자유도가 $m$, 분모의 자유도가 $n$인 $F$분포의 $(1-\alpha )\times 100$번째 백분위수를 나타내고, $F_{0.05}(2,9)=4.26$, $F_{0.05}(4,9)=3.63$이다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱
인자 A	50	2	25
인자 B	90	2	45
교호작용	80	4	20
오차	90	9	10
합계	310	17

어느 자격시험 성적은 평균이 68.4점이고 표준편차가 10점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 시험에서 88점을 받은 응시자는 상위 $a$ %에 해당한다. $a$의 값은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $P(|Z|<0.196)=0.16,P(|Z|<1.96)=0.95$이다)

어느 단체에 속한 성인 남성 몸무게는 평균이 65 ㎏이고 표준편차가 15 ㎏인 정규분포를 따른다고 한다. 이 단체에서 임의추출한 성인남성 $n$명의 평균몸무게가 60 ㎏보다 클 확률이 0.95 이상이 되도록 하는 최소 표본크기 $n$을 구하는 식은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $P(|Z|<1.645)=0.90,P(|Z|<1.96)=0.95$이다)

표본평균은 $\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$이고 표본분산은 $S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$일 때, 다음 통계량을 이용하여 구한 변동계수(coefficient of variation)는? (단, 변동계수 단위는 백분율(%)이다)

$n=8,{\sum }_{i=1}^n{X}_i=32,{\sum }_{i=1}^n{X}_i^2=142$

이산확률변수 $X$의 확률분포가 다음과 같을 때, $X$의 평균과 분산은?

$x$	$-1$	$0$	$1$
$P(X=x)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

평균 분산

어떤 항아리에 1, 2, 2, 3, 3, 3이 하나씩 적혀 있는 6개의 공이 들어 있다. 이 항아리에서 임의로 하나의 공을 선택할 때, 이 공에 적혀있는 숫자를 확률변수 $X$라고 하자. 확률변수 $Y=aX+b$의 평균과 분산이 각각 10과 5일 때, $a+b$의 값은? (단, $a$는 양수이다)

확률변수 $X$는 시행횟수가 6이고 성공확률이 $p$인 이항분포를 따른다고 한다. 성공확률 $p$에 대한 가설 $H_0:p=0.5$ 대 $H_1:p<0.5$의 기각역이 ‘$X\le 1$’일 때, 제1종 오류(type I error)를 범할 확률은?

어느 지역에서 온도와 응급환자수의 관계를 알아보고자 한다. 온도($X$)를 설명변수(또는 독립변수)로 하고 응급환자수($Y$)를 반응변수(또는 종속변수)로 하는 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i,$$i=1,...,n$에서 다음 통계량을 이용하여 최소제곱법에 의해 추정한 회귀직선의 기울기는?

${\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2=60,{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X})(Y_i-\overline{Y})=90$

표본의 크기가 10인 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i,$$i=1,...,10$에 대한 분산분석표의 일부가 다음과 같다. (가)에 들어갈 값과 유의수준 5 %에서 ‘회귀모형이 유의하지 않다’는 귀무가설에 대한 검정결과가 바르게 연결된 것은?

요인	자유도	$F$ 비	$p$ 값
회귀		17.6328	0.003
오차	(가)

(가) (검정결과)

다음 표는 어느 지역의 정당선호도와 소득수준의 독립성 여부를 알아보기 위해 유권자 200명을 임의추출하여 조사한 결과를 나타낸 것이다. 이를 검정하기 위한 피어슨 카이제곱검정통계량의 값은?

소득수준 정당선호도	상	하	합계
정당 A	70	30	100
정당 B	30	70	100
합계	100	100	200

어떤 회사에서 세 종류 기계 A, B, C의 일일 평균 생산량이 차이가 있는지를 알아보기 위하여 일원배치 분산분석법(one-way analysis of variance)으로 실험한 결과가 다음과 같다.

	기계 A	기계 B	기계 C
일일 생산량	25 20 25 26	21 20 16 15	22 20 21

위의 자료를 이용하여 만든 아래 분산분석표의 일부에서 (가)와 (나)의 값으로 옳은 것은?

요인	제곱합	자유도	$F$ 비
처리	72		(나)
오차	50	(가)

(가) (나)

어떤 안건에 대한 의견을 알아보기 위하여 모집단을 몇 개의 그룹으로 나눈 후 각 그룹별로 임의로 표본을 추출하여 설문조사를 하고자 한다. 그룹을 나눌 때, 이 안건에 대하여 같은 그룹에 속하는 구성원들 간의 의견은 동질성이 높도록 하고 다른 그룹에 속하는 구성원들 간의 의견은 이질성이 높도록 한다. 이 때 사용한 표본추출방법은?

서로 독립인 세 개의 확률변수 $X_i,i=1,2,3$은 각각 평균이 $i$이고 분산이 $i^2$인 정규분포를 따른다고 할 때, 다음 중 옳지 않은 것은?