7급 국가직 통계학 2025년 기출문제

다음은 중학생 $100$명을 대상으로 하루 평균 게임 시간을 조사하여 작성한 도수분포표의 일부이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것은?

하루 평균 게임 시간	도수	상대도수
$1$시간 미만	$25$
$1$시간 이상 ～ $2$시간 미만	$35$
$2$시간 이상 ～ $3$시간 미만	(가)	$0.21$
$3$시간 이상 ～ $4$시간 미만	$7$
$4$시간 이상 ～ $5$시간 미만	$7$
$5$시간 이상	(나)
합계	$100$	$1.00$

$X_1$, $X_2$, $X_3$은 모평균이 $\mu$인 모집단으로부터 추출한 확률표본일 때, $\mu$의 불편추정량으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, $\mu$는 $0$이 아니다)

ㄱ. $\frac{1}{3}{X}_1+\frac{2}{3}{X}_2-X_3$

ㄴ. $\frac{1}{3}{X}_1-X_2+\frac{2}{3}{X}_3$

ㄷ. $X_1+\frac{1}{2}{X}_2-\frac{1}{2}{X}_3$

ㄹ. $\frac{1}{2}{X}_1+\frac{2}{3}{X}_2-\frac{1}{6}{X}_3$

다음은 $n$개의 자료 $(x_i,y_i)$에 단순선형회귀모형 $y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{ϵ}_i$를 최소제곱법으로 적합하여 얻은 분산분석표의 일부이다.

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$－값
회귀	$SSR$		$MSR$	$F_0$
잔차	$SSE$	$10$	$MSE$

${\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2=9$, ${\sum }_{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2=12$, ${\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=6$일 때, 옳은 것만을 모두 고르면? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다)

ㄱ. $SSR=4$

ㄴ. $MSE=0.8$

ㄷ. $F_0=5$

다음은 $4$가지 광고유형에 따라 상품판매량의 차이가 있는지를 알아보기 위해 얻은 분산분석표의 일부이다. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$－값	$p$－값
처리	$36$				$0.022$
오차		$20$
계	$96$

어느 대학교 도서관의 작년 자료에 의하면 학부생 중 도서 대출 비율은 $1$학년 $20$ %, $2$학년 $30$ %, $3$학년 $40$ %, $4$학년 $10$ %라고 한다. 올해 이 도서관에서 대출한 학부생 $1,000$명을 임의추출하여 학년별로 대출한 학생 수를 조사한 결과가 다음과 같다. 올해 이 도서관에서 도서를 대출한 학부생들의 학년 비율이 작년과 차이가 있는지를 검정하기 위한 카이제곱 검정통계량의 값은?

학년	$1$학년	$2$학년	$3$학년	$4$학년	계
학생 수	$210$	$270$	$440$	$80$	$1,000$

기댓값(평균)이 $\frac{13}{8}$인 이산형 확률변수 $X$의 확률분포가 다음과 같을 때, $\frac{b}{a}$의 값은?

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	계
$P(X=x)$	$\frac{1}{4}$	$a$	$b$	$\frac{1}{4}$	$1$

연속형 확률변수 $X$의 확률밀도함수가 다음과 같을 때, $P(X>4|X>2)$의 값은?

$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{4}{e}^{-\frac{x}{4}}& ,x>0\\ 0,& \text{그}\text{외}\end{array}$

두 확률변수 $X$와 $Y$는 서로 독립이며 각각 성공의 확률이 $\frac{1}{2}$인 베르누이(Bernoulli) 분포를 따른다고 할 때, 확률변수 $W=X+Y$의 확률질량함수는?

$10$개의 자료 $(x_i,y_i)$에 단순선형회귀모형 $y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{ϵ}_i$를 최소제곱법으로 적합할 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다)

ㄱ. 설명변수와 반응변수의 표본평균을 각각 $\overline{x}$와 $\overline{y}$라 할 때, 회귀직선은 항상 $(\overline{x},\overline{y})$를 지난다.

ㄴ. $0$이 아닌 총제곱합($SST$)이 일정할 때, 잔차제곱합($SSE$)이 작아지면 결정계수도 작아진다.

ㄷ. 가설 $H_0:{\beta }_1=0$ 대 $H_1:{\beta }_1\ne 0$을 검정하기 위한 $F$분포의 분자와 분모의 자유도는 각각 $1$과 $8$이다.

모평균과 모분산이 알려지지 않은 정규모집단으로부터 임의추출한 $21$개의 표본에 대한 표본분산이 $16$이다. 모분산이 $40$보다 작은지를 유의수준 $5$ %에서 검정하고자 할 때, 카이제곱 검정통계량의 값과 검정 결과를 바르게 연결한 것은? (단, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, ${\chi }_{0.05}^2(20)=31.41$, ${\chi }_{0.95}^2(20)=10.85$, ${\chi }_{0.05}^2(21)=32.67$, ${\chi }_{0.95}^2(21)=11.59$이다)

카이제곱 검정통계량의 값 검정 결과

자료의 개수가 $100$인 어느 자료에서 최댓값 $a$가 $a+10$으로 되었을 때, 값이 변하지 않는 측도만을 모두 고르면? (단, 자료의 값은 모두 다르다)

ㄱ. 평균

ㄴ. 중앙값

ㄷ. 분산

ㄹ. 사분위수범위

두 확률변수 $X$와 $Y$의 결합확률분포가 다음과 같다.

$Y$ $X$	$-1$	$0$	$1$
$-1$	$0$	$0.4$	$0$
$1$	$0.3$	$0$	$0.3$

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. $E(XY)$는 $E(X)\times E(Y)$와 같다.

ㄴ. $X$와 $Y$는 독립이다.

ㄷ. $X$와 $Y$의 상관계수는 $0$이다.

자유도가 $2$보다 큰 $t$분포에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. 표준정규분포보다 $t$분포의 분산이 더 크다.

ㄴ. $t$분포는 자유도가 커질수록 표준정규분포에 수렴한다.

ㄷ. $t$분포의 확률밀도함수는 $0$을 중심으로 좌우 대칭이고 종 모양이다.

어느 회사의 연마제 품질이 인자 $A$의 $3$가지 수준과 인자 $B$의 $6$가지 수준에 따라 차이가 있는지를 알아보고자 한다. 다음은 인자 $A$와 $B$에 대하여 반복이 없는 이원배치법으로부터 얻은 분산분석표의 일부이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, $F_{\alpha }(k_1,k_2)$는 분자와 분모의 자유도가 각각 $k_1$, $k_2$인 $F$분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타낼 때, $F_{0.05}(2,10)=4.10$, $F_{0.05}(5,10)=3.33$, $F_{0.05}(3,18)=3.16$, $F_{0.05}(6,18)=2.66$이다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$－값
인자 $A$	$14$
인자 $B$	$28$
오차	$20$

연속형 확률변수 $X$의 누적분포함수가 다음과 같을 때, $X$의 분산은?

$F_X(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x\le 0\\ x^2,& 0<x\le 1\\ 1,& x>1\end{array}$

다음은 반복이 $3$회 있는 이원배치법으로부터 얻은 분산분석표의 일부이다. 인자 $A$의 수준은 $4$이고 인자 $B$의 수준은 $5$일 때, 옳은 것은?

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$-값
인자 $A$	$18$	(가)		(라)
인자 $B$	$48$			(마)
교호작용 $A\times B$	$36$	(나)
오차	$80$		(다)

다음은 모분산이 알려지지 않고 서로 독립인 두 정규모집단 $A$와 $B$로부터 임의추출한 표본을 조사한 결과이다. 두 모집단 $A$와 $B$의 평균 차이인 ${\mu }_A-{\mu }_B$에 대한 $95$ % 신뢰구간은? (단, $t_{\alpha }(k)$는 자유도가 $k$인 $t$분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, $t_{0.025}(8)=2.306$, $t_{0.025}(9)=2.262$이다)

모집단 (모평균, 모분산)	표본의 크기	표본평균	표본표준편차
$A$ (${\mu }_A$, ${\sigma }^2$)	$4$	$22$	$3$
$B$ (${\mu }_B$, ${\sigma }^2$)	$6$	$18$	$1$

$n$개의 자료 $(x_i,y_i)$에 단순선형회귀모형을 적합하여 얻은 추정식이 ${\hat{y}}_i=4+6x_i$일 때, 관측값 $(x_1,y_1)=(3,24)$에 대한 잔차의 제곱값은?

절편이 있는 단순선형회귀모형을 최소제곱법으로 적합할 때, 결정계수에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, 총제곱합($SST$)은 $0$이 아니다)

ㄱ. 결정계수의 값은 $0$보다 크거나 같고 $1$보다 작거나 같다.

ㄴ. 결정계수의 값이 $1$이면 회귀제곱합($SSR$)이 $0$이다.

ㄷ. 결정계수는 설명변수와 반응변수의 표본상관계수와 동일하다.

어느 우체국에 한 시간 동안 들어가는 사람의 수 $Y$는 평균이 $\lambda$인 포아송 분포를 따르는 확률변수이다. 가설 $H_0:\lambda =3$ 대 $H_1:\lambda <3$에 대한 검정에서 기각역으로 ‘$Y\le 1$’을 사용할 때, 제$1$종 오류의 확률은?

사교육이 $A$ 대학 합격 여부와 관계가 있는지를 알아보기 위해 $A$ 대학 지원자 $300$명을 대상으로 설문 조사를 실시하여 다음과 같은 분할표를 얻었다. 사교육을 받은 지원자 중에서 $A$ 대학에 합격할 오즈(odds) 값은?

$A$ 대학 합격 여부 사교육	합격	불합격
받음	$83$	$131$
받지 않음	$7$	$79$

연속형 확률변수 $X$의 확률밀도함수가 다음과 같을 때, $X$의 중앙값은? (단, $\log$는 자연로그함수이다)

$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x},& x>0\\ 0,& \text{그}\text{외}\end{array}$

두 사람 $A$와 $B$가 번갈아 가면서 공정한 주사위를 던져 처음으로 $6$의 눈이 나온 사람이 이기는 게임을 한다. 첫 번째로 $A$가 던질 때, $B$가 이길 확률은?

서로 독립인 추정량 ${\hat{\theta }}_1$과 ${\hat{\theta }}_2$은 각각 모수 $\theta$의 불편추정량이고 $Var({\hat{\theta }}_1)=3Var({\hat{\theta }}_2)$을 만족한다. 추정량 ${\hat{\theta }}_3=a{\hat{\theta }}_1+b{\hat{\theta }}_2$이 $\theta$의 불편추정량일 때, ${\hat{\theta }}_3$의 분산을 최소화하기 위한 상수 $a$와 $b$의 값을 바르게 연결한 것은? (단, $\theta$는 $0$이 아니고 $Var({\hat{\theta }}_1)$과 $Var({\hat{\theta }}_2)$은 각각 $0$보다 크다)

$\underline{a}$ $\underline{b}$

체비셰프 부등식(Chebyshev’s inequality) 정리는 ‘확률변수 $X$의 평균이 $\mu$이고 분산이 ${\sigma }^2(<\infty )$일 때, 모든 $k\ge 1$에 대하여 $P(|X-\mu |\ge k\sigma )\le \frac{1}{k^2}$이 성립한다’이다. 이산형 확률변수 $X$의 확률분포가 다음과 같을 때, 체비셰프 부등식 정리에 의한 $P(|X|\ge 1)$의 상한값은?

$x$	$-1$	$0$	$1$	계
$P(X=x)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{6}{8}$	$\frac{1}{8}$	$1$