7급 국가직 통계학 2015년 기출문제

다음 사례에 해당하는 표본추출방법은?

2,000 가구에 1부터 2,000까지 서로 다른 일련번호를 하나씩 부여한 후, 일련번호가 1부터 40인 가구 중에서 무작위로 한 가구를 추출하고, 그 일련번호로부터 매 40 번째 일련번호에 해당하는 가구를 추출하여 총 50 가구를 표본으로 선정하였다.

단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i$에서 추정된 회귀직선이 ${\hat{Y}}_i=2-0.5X_i$이고 결정계수(coefficient of determination)가 0.81 일 때, 두 변수 $X,Y$의 표본상관계수는? (단, $i=1,2,\cdots ,n$이고, ${ϵ}_i$는 서로 독립이며 평균이 0이고 분산이 ${\sigma }^2$인 정규분포를 따른다)

표본공간 $S$에서 정의된 두 사건 $A,B$에 대하여 $P(A)=0.5,$$P(A\cup B)=0.7$일 때, 옳지 않은 것은? (단, $A^c$은 $A$의 여사건을 나타낸다)

확률변수 $X$는 평균이 50이고 분산이 ${\sigma }^2$인 정규분포를 따르고, 확률변수 $Y$는 평균이 60이고 분산이 $9{\sigma }^2$인 정규분포를 따른다고 할 때, $P(X>60)=P(Y<c)$를 만족하는 $c$의 값은? (단, ${\sigma }^2>0$)

다음은 직업을 A, B, C로 구분할 때 아버지의 직업에서 아들의 직업으로 전이될 조건부 확률을 나타낸 것이다. 아버지의 직업이 A, B, C일 확률은 각각 0.1, 0.4, 0.5라고 하자. 아들의 직업이 A일 때, 그의 아버지의 직업이 A일 확률은?

아버지	아들
	A	B	C
A	0.45	0.45	0.1
B	0.1	0.7	0.2
C	0.05	0.5	0.45

두 전구회사 A, B에서 생산하는 전구의 수명시간은 모분산이 각각 ${\sigma }_{A^{}}^2$, ${\sigma }_{B^{}}^2$인 정규분포를 따른다고 한다. 두 회사 A, B의 전구를 각각 10개, 15개 무작위로 추출하여 수명시간의 표본분산 $s_A^2$, $s_B^2$을 구하였다. 표본분산의 비를 $f=\frac{s_A^2}{s_B^2}$이라고 할 때, 모분산의 비 $\frac{{\sigma }_A^2}{{\sigma }_B^2}$에 대한 $(1-\alpha )\times 100$ % 신뢰구간은? (단, $F_{\alpha }(m,n)$은 분자의 자유도가 $m$, 분모의 자유도가 $n$인 $F$분포의 제 $(1-\alpha )\times 100$ 백분위수를 나타낸다)

다음은 각각 세 가지 수준을 갖는 인자 A와 B의 아홉 가지 수준 조합마다 3회 반복 측정하여 얻은 분산분석표의 일부일 때, 옳지 않은 것은? (단, $F_{\alpha }(m,n)$은 분자의 자유도가 $m$, 분모의 자유도가 $n$인 $F$분포의 제 $(1-\alpha )\times 100$ 백분위수를 나타내고, $F_{0.05}(2,18)=3.55$, $F_{0.05}(3,18)=3.16$, $F_{0.05}(4,18)=2.93$이다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱	F－값
인자 A	144		72
인자 B	44			1.1
교호작용	52		13
잔차	360
계	600

표본의 크기가 $n$인 자료 $(X_i,Y_i)$에 단순선형회귀모형을 적용하여 추정된 회귀직선이 ${\hat{Y}}_i=2+4X_i$이다. $Z_i=\frac{1}{2}{Y}_i+1$이라고 할 때 자료 $(X_i,Z_i)$에 단순선형회귀모형을 적용하여 추정된 회귀직선이 ${\hat{Z}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{X}_i$라면, 옳지 않은 것은? (단, $i=1,2,\cdots ,n$이고, $\overline{Y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{Y}_i$ , $\overline{Z}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{Z}_i$이다)

평균이 10이고 분산이 1인 정규모집단에서 얻은 임의표본(random sample)을 $X_1$, $X_2$, $X_3$, $X_4$라고 할 때, 옳은 것만을 모두 고른 것은?

ㄱ. $X_1-2X_2+X_3$은 평균이 0이고 분산이 6인 정규분포를 따른다.

ㄴ. $(X_4-10{)}^2$은 자유도가 1인 카이제곱분포를 따른다.

ㄷ. ${\left(\frac{X_1-X_2}{X_3-X_4}\right)}^2$은 분자의 자유도가 1, 분모의 자유도가 1인 $F$분포를 따른다.

표본의 크기가 10인 자료에 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i$, $i=1,2,\cdots ,10$을 적용하여 얻은 분산분석표는 다음과 같다. 만일 ${\sum }_{i=1}^{10}(X_i-\overline{X}{)}^2=100$, ${\sum }_{i=1}^{10}(Y_i-\overline{Y}{)}^2=800$, 추정된 회귀계수가 ${\hat{\beta }}_1=2$라면, 분산분석표에 들어갈 값에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고른 것은? (단, $\overline{X}=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{X}_i,\overline{Y}=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{Y}_i,$ ${ϵ}_i$는 서로 독립이며 평균이 0이고 분산이 ${\sigma }^2$인 정규분포를 따른다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱	F－값
회귀	A		B	C
잔차		D	E
계

ㄱ. A의 값은 400이다.

ㄴ. C의 값과 E의 값의 합은 58이다.

ㄷ. A와 B의 값은 같다.

ㄹ. C와 D의 값은 같지 않다.

다음의 줄기－잎 그림(stem-and-leaf plot)에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고른 것은? (단, 줄기는 십의 자릿수이고 잎은 일의 자릿수이다)

<자료 A>		<자료 B>
줄기	잎	줄기	잎
1	1 3 5 7	1	1
2	1 3	2	3 5 7
3	1	3	1 3 5 7 9
4	1 3	4	3 5 7
5	1 3 5 7	5	1

ㄱ. <자료 A>의 범위가 <자료 B>의 범위보다 크다.

ㄴ. <자료 A>의 평균과 중앙값은 같다.

ㄷ. <자료 A>와 <자료 B>의 중앙값은 같다.

평균이 0이고 분산이 1인 확률변수 $X$에 대하여 $Y=1-2X$일 때, 옳지 않은 것은?

정책 A, B에 대한 성별 선호도를 알아보기 위해 남자 100명과 여자 100명을 무작위로 추출하여 조사한 결과가 다음 표와 같다. 남자와 여자가 정책 A를 선호하는 비율을 각각 $p_{1A}$, $p_{2A}$라고 할 때, 가설 $H_0$ : $p_{1A}=p_{2A}$ 대 $H_1$ : $p_{1A}\ne p_{2A}$ 를 검정하기 위한 카이제곱검정통계량의 값과 자유도는?

	정책 A	정책 B
남자	40	60
여자	50	50

값 자유도

평균이 $\mu$이고 분산이 ${\sigma }^2$인 정규모집단에서 얻은 임의표본(random sample)을 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$이라고 하자. ${\sigma }^2$의 추정량을 ${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2$이라고 할 때, ${\hat{\sigma }}^2$의 성질로 옳은 것은? (단, $\overline{X}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$)

실험 대상자 50명 중 25명을 무작위로 추출하여 치료방법 A를 적용하고, 나머지 25명은 치료방법 B를 적용하여 회복시간을 조사한 결과가 다음 표와 같다. 두 치료방법에 따른 환자의 회복시간은 각각 정규분포를 따르고 분산은 서로 같다고 가정하자. 치료방법 A, B의 평균회복시간을 각각 ${\mu }_A$, ${\mu }_B$라고 할 때, $({\mu }_A-{\mu }_B)$에 대한 95 % 신뢰구간은? (단, $t_{\alpha }(m)$은 자유도가 $m$인 $t$분포의 제 $(1-\alpha )\times 100$ 백분위수를 나타낸다)

구분	치료방법
	A	B
표본평균	10	15
표본분산	3	6

가설 $H_0$ : “모집단의 분포가 $U(-1,1)$이다.” 대 $H_1$ : “모집단의 분포가 $U(0,5)$이다.”를 검정하기 위하여 모집단에서 한 개의 표본 $X$를 무작위로 추출하였다. ‘만약 $X$가 0.8보다 크면 가설 $H_0$을 기각하고, 그렇지 않으면 $H_0$을 기각하지 않는다.’고 할 때, 이 검정법의 제 1종의 오류를 범할 확률과 검정력(power)은? (단, $U(a,b)$는 구간 $[a,b]$에서 정의된 균일분포를 따른다)

제 1종의 오류를 범할 확률 검정력

표본의 크기가 11인 자료에 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i$, $i=1,2,\cdots ,11$을 적용하여 추정된 회귀직선의 결정계수(coefficient of determination)가 0.7이라고 한다. 이 회귀직선의 유의성검정을 위한 $F$ 검정통계량의 값은? (단, ${ϵ}_i$는 서로 독립이며 평균이 0이고 분산이 ${\sigma }^2$인 정규분포를 따른다)

육면 주사위를 240번 던져 나온 결과가 다음 표와 같다. 가설 $H_0$ : “주사위의 각각의 눈이 나올 확률은 $\frac{1}{6}$이다.” 대 $H_1$ : “$H_0$가 아니다.”를 검정할 때, $p$－값($p$－value 또는 유의확률)은? (단, ${\chi }_{\alpha }^2(m)$은 자유도가 $m$인 카이제곱분포의 제 $(1-\alpha )\times 100$ 백분위수를 나타내며, ${\chi }_{0.05}^2(5)=11.07$, ${\chi }_{0.025}^2(5)=12.83$, ${\chi }_{0.01}^2(5)=15.09$, ${\chi }_{0.05}^2(6)=12.59$, ${\chi }_{0.025}^2(6)=14.45$, ${\chi }_{0.01}^2(6)=16.81$이다)

눈	1	2	3	4	5	6	계
관측도수	50	48	30	50	32	30	240

살을 빼려는 20명을 대상으로 네 가지 식이요법을 각각 5명에게 3개월간 적용하여 얻은 체중 변화량에 대한 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때, 옳지 않은 것은? (단, $F_{\alpha }(m,n)$은 분자의 자유도가 $m$, 분모의 자유도가 $n$인 $F$분포의 제 $(1-\alpha )\times 100$ 백분위수를 나타낸다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱	F－값	$p$－값
처리	20.4	A		1.7	0.21
잔차			B
계	84.4

평균이 $\mu$이고 분산이 16인 정규모집단에서 얻은 임의표본(random sample)을 $X_1,X_2,\cdots ,X_9$라고 하자. 확률변수 $V=\frac{3(\overline{X}-\mu )}{4}$와 $W=\frac{3(\overline{X}-\mu )}{S}$에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고른 것은? (단, $\overline{X}=\frac{1}{9}{\sum }_{i=1}^9{X}_i$ , $S=\sqrt{\frac{1}{8}{\sum }_{i=1}^9(X_i-\overline{X}{)}^2}$)

ㄱ. $V$의 분포는 0에 대해 대칭이다.

ㄴ. $W$의 분포는 0에 대해 대칭이다.

ㄷ. 1보다 큰 모든 실수 $c$에 대해 $P(V\ge c)<P(W\ge c)$이다.