7급 국가직 통계학 2020년 기출문제

다음은 A 지역에서 20일간 측정된 미세먼지의 양을 요약한 것이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, $100\alpha$ % 절사평균은 관측값의 양쪽에서 각각 일정비율 $\alpha$의 극단값을 버린 나머지 관측값들의 평균이다)

표본크기	평균	표준편차	중앙값	최솟값	최댓값
20	50.0	58.9	20	10	180

측정 단위의 영향을 받지 않는 통계량만을 모두 고르면?

ㄱ. 표준편차(standard deviation)

ㄴ. 변동계수(coefficient of variation)

ㄷ. 산술평균(arithmetic mean)

ㄹ. 중앙값(median)

ㅁ. 피어슨 상관계수(Pearson correlation coefficient)

ㅂ. 공분산(covariance)

공정한 동전을 던지는 놀이를 하고 있다. 확률변수 $X$를 앞면이 나올 때까지 동전을 던진 횟수라 하자. $X$가 1이면 1,000원, 2이면 800원, 3이면 400원, 4이상이면 0원을 상금으로 받는다고 할 때, 참가비가 800원이라면 이 놀이에서 참가자가 얻는 이익의 기대 금액은?

확률변수 $X$가 이항분포 $B(16,p)$를 따른다. 분산 $Var(X)$가 최대일 때의 평균 $E(X)$는?

A 대학교 재학생 중 40 %가 남학생, 60 %가 여학생이다. 남학생 중 기숙사 입주자의 비율을 $p_1$, 여학생 중 기숙사 입주자의 비율을 $p_2$라 할 때, $\frac{p_1}{p_2}=3$이다. 기숙사 입주자 중 남학생의 비율을 $a_1$, 기숙사 입주자 중 여학생의 비율을 $a_2$라 할 때 $\frac{a_1}{a_2}$의 값은?

연속형 확률변수 $X$의 확률밀도함수(probability density function)가 다음과 같을 때, 옳은 것만을 모두 고르면?

$f(x)=\{\begin{array}{l}x+\frac{1}{2},0\le x\le a\\ 0,\text{그}\text{밖의}\text{경우}\end{array}$

ㄱ. $a$의 값은 2이다.

ㄴ. $f(2)=\frac{5}{2}$

ㄷ. $P(0\le X\le \frac{1}{2})=\frac{3}{8}$

지난달 A 드라마 시청률이 50 %였다. 이번 달의 A 드라마 시청률이 지난달과 다른지를 이항검정법으로 검정하기 위하여 10세대를 랜덤 추출하여 이번 달 A 드라마를 시청한 세대수($X$)를 조사하고자 한다. 유의수준 10 %에서 귀무가설($H_0$)의 기각역은? (단, $p$는 이번 달의 A 드라마 시청률이다)

$H_0:p=\frac{1}{2}$, $H_1:p\ne \frac{1}{2}$

표준편차가 10인 정규모집단에서 모평균($\mu$)에 대한 귀무가설 $H_0:\mu =10$ 대 대립가설 $H_1:\mu =12$를 검정하고자 한다. 크기 100의 표본을 랜덤 추출하여 표본평균 $\overline{X}$를 구한 후 기각역으로 $R:\overline{X}\ge 11.5$를 사용할 때, 제2종 오류의 확률은? (단, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수를 나타낸다)

$T$는 자유도가 $k$인 $t$ 분포를 따르는 확률변수를 나타내고, $t_{\alpha }(k)$는 자유도가 $k$인 $t$ 분포의 제$100(1-\alpha )$백분위수를 나타낼 때, 옳은 것만을 모두 고르면? (단, $k>2$, $0<\alpha <1$이다)

ㄱ. $T$의 평균은 0이다.

ㄴ. $\alpha$가 고정되어 있을 때, $k$가 증가할수록 $t_{\alpha }(k)$는 감소한다.

ㄷ. $k$가 고정되어 있을 때, $\alpha$가 증가할수록 $t_{\alpha }(k)$는 감소한다.

단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{ϵ}_i$, $i=1,2,\cdots ,10$을 최소제곱법으로 적합시킨 회귀식이 ${\hat{y}}_i=1+\frac{1}{3}{x}_i$이고 ${\sum }_{i=1}^{10}\widehat{y_i}=70$일 때, $E[Y|x]$의 95 % 신뢰구간의 길이가 최소가 되는 $x$의 값은? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르며 서로 독립이다)

어느 병원에 내원한 호흡기 질환자 중 200명을 랜덤 추출하여 계절별로 정리하면 다음과 같다. ‘호흡기 질환자의 계절별 비율은 동일하다’는 귀무가설을 검정하기 위해 적합한 검정법과 유의수준 5 %에서의 검정 결과를 바르게 연결한 것은? (단, 자유도가 $k_1,k_2$인 $F$ 분포의 제$100(1-\alpha )$백분위수를 $F_{\alpha }\left(k_1,k_2\right)$로 나타낼 때 $F_{0.05}\left(1,3\right)=10.13$, $F_{0.05}\left(1,4\right)=7.71$이며, 자유도가 $k$인 ${\chi }^2$분포의 제$100(1-\alpha )$백분위수를 ${\chi }_{\alpha }^2\left(k\right)$로 나타낼 때 ${\chi }_{0.05}^2(3)=7.81$, ${\chi }_{0.05}^2(4)=9.49$이다)

계절	봄	여름	가을	겨울
환자 수	40	65	40	55

검정법 검정 결과

단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{ϵ}_i$, $i=1,2,\cdots ,n$을 최소제곱법으로 적합시켰을 때 결정계수와 같은 값을 갖는 것만을 모두 고르면? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이며, $\widehat{{\beta }_1}$는 ${\beta }_1$에 대한 추정량, $SSE$는 잔차제곱합, $S_{xx}={\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$, $S_{yy}={\sum }_{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2$, $S_{xy}={\sum }_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})$, $\overline{x}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{x}_i$, $\overline{y}=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{y}_i$이다)

ㄱ. 1 － $\frac{SSE}{S_{yy}}$

ㄴ. $\frac{{\hat{\beta }}_1^2{S}_{xx}}{S_{yy}}$

ㄷ. $\frac{{(S_{xy}^{})}^2}{S_{xx}{S}_{yy}}$

다음은 서로 다른 세 가지 비료에 따른 평균수확량의 차이가 있는지 알아보기 위한 분산분석표이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, 자유도가 $k_1,k_2$인 $F$ 분포의 제$100(1-\alpha )$백분위수를 $F_{\alpha }\left(k_1,k_2\right)$로 나타낼 때, $F_{0.05}\left(2,27\right)=3.35$, $F_{0.05}\left(3,26\right)=2.98$이다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$－값
처리	17.956	( )	8.978	10.125
오차	23.941	( )	0.887
전체	41.897	29

ㄱ. 유의수준 5 %에서 세 가지 비료에 따른 평균수확량은 모두 다르다.

ㄴ. $F_{m,n}$이 자유도가 $m,n$인 $F$ 분포를 따르는 확률변수일 때 유의확률은 $P(F_{2,27}>10.125)$이다.

ㄷ. 각 처리의 반복수가 모두 같다면 각 처리에서 9개씩 조사한 것이다.

다음은 인자 A, B의 수준수가 각각 3이고, 각 처리에서 반복수가 3인 이원배치법 분산분석표의 일부이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, 자유도가 $k_1,k_2$인 $F$ 분포의 제$100(1-\alpha )$백분위수를 $F_{\alpha }\left(k_1,k_2\right)$로 나타낼 때 $F_{0.05}\left(2,22\right)=3.44$, $F_{0.05}\left(3,20\right)=3.10$이며, 인자 A, B의 교호작용은 고려하지 않는다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$－값
인자 A	100
인자 B	20
오차
계	230

다중선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_{1i}+{\beta }_2{x}_{2i}+{ϵ}_i$, $i=1,2,\cdots ,n$에서 모수 ${\beta }_0,{\beta }_1,{\beta }_2$를 추정하기 위해 사용할 수 있는 방법은? (단, 오차항 ${ϵ}_i$는 서로 독립이며 평균 0, 분산 ${\sigma }^2$인 확률변수이다)

$X_1$과 $X_2$는 서로 독립이고 평균이 10, 분산이 1인 정규분포를 따르는 확률변수이다. $Y$가 $X_1$과 $X_2$ 중 최댓값일 때, $Y$가 10보다 클 확률은?

과목 A의 점수는 $N(50,5^2)$을 따르고, 과목 B의 점수는 $N(60,10^2)$을 따른다. 갑돌이의 과목 A, B 점수는 각각 45점, 80점이고, 갑순이의 과목 A, B 점수는 각각 50점, 70점이다. 다음 설명 중 옳은 것만을 모두 고르면? (단, $Z$가 $N(0,1)$을 따를 때 $P(Z\le 1)=0.84$, $P(Z\le 2)=0.98$이고, 어떤 사람의 과목 성적이 해당 과목의 점수 분포에서 하위 $p$ % 지점에 위치하면 이 사람의 해당 과목 백분위점수는 $p$라고 정의한다)

ㄱ. 두 과목 원점수의 합은 갑돌이가 더 높다.

ㄴ. 두 과목 표준화점수(z-score)의 합은 갑돌이와 갑순이가 같다.

ㄷ. 두 과목 백분위점수의 합은 갑순이가 더 높다.

두 정규모집단에서 각각 랜덤 추출한 서로 독립인 표본 1과 표본 2의 통계값이 다음과 같다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, 자유도가 $k_1,k_2$인 $F$ 분포의 제$100(1-\alpha )$백분위수를 $F_{\alpha }\left(k_1,k_2\right)$로 나타낼 때, $F_{0.025}\left(9,11\right)=3.59$, $F_{0.025}\left(11,9\right)=3.91$, $F_{0.05}\left(9,11\right)=2.90$, $F_{0.05}\left(11,9\right)=3.10$이다)

구분	표본크기	평균	표준편차
표본 1	10	10	3
표본 2	12	15	2

ㄱ. 유의수준 5 %에서 두 집단의 모분산은 다르다고 할 수 없다.

ㄴ. 두 집단의 모분산이 같다는 가정하에, 두 표본의 분산을 사용하여 공통분산의 불편추정값을 구하면 6.25이다.

ㄷ. 두 집단의 모분산이 같다는 가정하에, 두 집단의 모평균이 같다는 귀무가설과 같지 않다는 대립가설을 검정하기 위해 검정통계량의 값 $\frac{5}{2.5\times \sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{12}}}$를 사용할 수 있다.

단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i$, $i=1,2,\cdots ,11$에 최소제곱법을 적용하여 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때, 옳지 않은 것은? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이며, 자유도가 $k_1,k_2$인 $F$ 분포의 제$100(1-\alpha )$백분위수를 $F_{\alpha }\left(k_1,k_2\right)$로 나타낼 때 $F_{0.01}\left(1,9\right)=10.56$이다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$－값
회귀	75
오차(잔차)	45
합계	120

중위소득 이상인 가구와 미만인 가구를 각각 100개씩 랜덤 추출하여 특정 정책에 대한 가구주의 의견을 조사한 결과 다음과 같은 찬반 교차표를 얻었다.

구분	찬성	반대	합
중위소득 미만	60	40	100
중위소득 이상	40	60	100
합	100	100	200

소득 수준에 따라 찬성률의 차이가 없다는 귀무가설과 차이가 있다는 대립가설을 검정하기 위해 다음 두 가지 통계값을 사용하고자 한다.

$a=\frac{0.6-0.4}{\sqrt{0.5\times 0.5\times (\frac{1}{100}+\frac{1}{100})}}$

$b=\frac{(60-50{)}^2}{50}+\frac{(40-50{)}^2}{50}+\frac{(60-50{)}^2}{50}+\frac{(40-50{)}^2}{50}$

이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. $a$를 사용하여 정규검정법으로 검정할 수 있다.

ㄴ. $b$를 사용하여 ${\chi }^2$검정법으로 검정할 수 있다.

ㄷ. $a$를 사용한 검정의 유의확률이 $b$를 사용한 검정의 유의확률보다 작다.