9급 국가직 통계학개론 2021년 기출문제

다음 상자그림에 대한 설명으로 옳은 것은?

$n$개의 자료 $(x_i,y_i)$ $(i=1,2,...,n)$의 표본상관계수는 $0.2$이다. $v_i=x_i+1$, $w_i=2y_i-1$이라고 할 때, 변환된 $n$개의 자료$(v_i,w_i)$ $(i=1,2,...,n)$의 표본상관계수는?

어느 회사에서 차량 내비게이션을 연령대가 $30$대부터 $50$대까지인 고객에게 한 달 동안 사용하게 한 후 구매 의사를 알아보기 위해 $240$명을 임의추출하여 다음과 같은 분할표를 작성하였다.

연령대 구매 의사	$30$대	$40$대	$50$대	계
있음	$40$	$60$	$40$	$140$
없음	$20$	$40$	$40$	$100$
계	$60$	$100$	$80$	$240$

연령대와 구매 의사는 서로 독립이라는 귀무가설을 검정하기 위한 카이제곱통계량의 $p-$값(유의확률)이 $0.128$일 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. 귀무가설이 참일 때 $30$대이며 구매 의사가 있는 고객의 수의 기대도수는 $35$이다.

ㄴ. 귀무가설이 참일 때 카이제곱통계량의 자유도는 $2$이다.

ㄷ. 유의수준 $5$ %에서 귀무가설을 기각한다.

단순선형회귀모형 $y_i=\alpha +\beta x_i+{ϵ}_i(i=1,2,...,n)$에서 최소제곱법에 의하여 추정된 회귀계수를 $\hat{\alpha }$와 $\hat{\beta }$, $y_i$의 예측값을 ${\hat{y}}_i$, 잔차를 $e_i=y_i-{\hat{y}}_i$, 총제곱합($\mathrm{SST}$)을 ${\sum }_{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2$, 회귀제곱합($\mathrm{SSR}$)을 ${\sum }_{i=1}^n({\hat{y}}_i-\overline{y}{)}^2$, 잔차제곱합($\mathrm{SSE}$)을 ${\sum }_{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$이라고 할 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다)

어느 대학교의 $4$개 단과대학인 인문대, 사회대, 자연대, 공대에서 각각 $50$명씩 임의추출하여 남학생과 여학생의 수를 조사한 분할표가 다음과 같다.

단과대학 성별	인문대	사회대	자연대	공대	계
남학생	$20$	$25$	$25$	$30$	$100$
여학생	$30$	$25$	$25$	$20$	$100$
계	$50$	$50$	$50$	$50$	$200$

$4$개 단과대학의 남학생 비율이 모두 같다는 귀무가설을 검정하기 위한 카이제곱통계량의 값과 유의수준 $5$ %에서 검정 결과를 옳게 짝 지은 것은? (단, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타낼 때 ${\chi }_{0.05}^2(3)=7.81$, ${\chi }_{0.05}^2(4)=9.49$이다)

카이제곱통계량의 값 검정 결과

확률변수 $X$에 대하여 $E[X(X-1)]=3$, $E[X(X+1)]=5$일 때, $X$의 분산은?

갑, 을 두 사람이 가위바위보 게임을 $10$회 시행하여 갑이 이기는 횟수를 확률변수 $X$라 할 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, 갑, 을은 각자 임의로 가위, 바위, 보 중에서 하나를 내고, 비기는 경우도 1회 시행으로 간주한다)

단순선형회귀모형 $y_i=\alpha +\beta x_i+{ϵ}_i(i=1,2,...,n)$에 최소제곱법을 적용하여 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F-$값	$p-$값
회귀	$10$	( ㉠ )	$10$	$5$	$0.017$
잔차	$36$	$18$	( ㉡ )
계	$46$

정규분포 $N(\mu ,{\sigma }^2)$을 따르는 모집단에서 $n$개의 표본을 임의추출하여 구한 $\mu$의 $95$ % 신뢰구간이 $(-0.1,0.7)$일 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

어느 회사 신입사원의 입사 시험성적은 평균이 $\mu$인 정규분포를 따른다고 한다. 신입사원 중에서 $n$명을 임의추출하여 구한 시험성적의 표본평균은 $60$보다 크고, 가설 $H_0:\mu =60$ 대 $H_1:\mu \ne 60$에 대한 $p-$값은 $0.1$이었다. 동일한 표본에 대해 가설 $H_0:\mu =60$ 대 $H_1:\mu >60$에 대한 $p-$값은 $a$이고, 가설 $H_0:\mu =60$ 대 $H_1:\mu <60$에 대한 $p-$값은 $b$일 때, $b-a$의 값은?

$50$개의 관측값을 가장 작은 값부터 가장 큰 값까지 크기순으로 나열하여 $x_{(1)},x_{(2)},...,x_{(50)}$으로 나타낼 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

$10$개의 자료 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_{10},y_{10})$에 대하여 단순선형회귀모형 $y_i=\alpha +\beta x_i+{ϵ}_i(i=1,2,...,10)$를 적합하고자 한다. $\overline{x}=20$, $\overline{y}=80$, ${\sum }_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x}{)}^2=20$, ${\sum }_{i=1}^{10}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=60$일 때, 최소제곱법을 이용하여 추정한 회귀계수 $\hat{\alpha }$와 $\hat{\beta }$의 값은? (단, $\overline{x},\overline{y}$는 각각 $x,y$의 표본평균이고, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다)

인자의 수준수가 $k$이고 각 수준에서의 반복수가 $n$인 일원배치법에서 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F-$값	$p-$값
처리	$60$		$20$	( ㉠ )	$<0.001$
오차	$28$	$28$
계	$88$

전체 고등학생이 치른 수학 시험점수는 평균이 $60$점, 표준편차가 $12$점인 정규분포를 따른다고 한다. 전체 고등학생 중에서 임의로 뽑은 한 명의 수학 시험점수를 $X$라 하고, 임의로 뽑은 $36$명의 수학 시험점수의 표본평균을 $Y$라 할 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

정규분포 $N(\mu ,2^2)$을 따르는 모집단에서 임의추출한 $9$개 표본의 표본평균이 $12$일 때, 가설 $H_0:\mu =10$ 대 $H_1:\mu \ne 10$에 대한 $p-$값과 같은 것은? (단, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다)

어느 공장에서 생산되는 제품의 불량률 $p$에 대한 가설 $H_0:p=0.04$ 대 $H_1:p>0.04$를 검정하려고 한다. 이 공장에서 임의추출한 $384$개 제품 중 불량품의 개수를 $X$라고 하자. 기각역으로 $R:\frac{X}{384}>0.06$을 사용할 때, 제$1$종 오류를 범할 확률과 같은 것은? (단, $Z$는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다)

$1$부터 $13$까지의 자연수 중 하나와 $4$개의 무늬 ♣, ♠, ♥, ♦ 중 하나를 조합하여 각각 적은 같은 크기의 $52$장의 카드가 있다. 이 $52$장의 카드에서 임의로 한 장의 카드를 뽑을 때, 이 카드에 ♣ 무늬가 적힌 사건을 $A$, 숫자 $1$이 적힌 사건을 $B$라고 하자. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. $P(A)=\frac{1}{4}$

ㄴ. $P(B)=\frac{1}{13}$

ㄷ. 사건 $A$와 $B$는 서로 독립이다.

ㄹ. $P(A^C\cup B)=\frac{9}{13}$ (단, $A^C$은 $A$의 여사건이다)

성공의 확률이 $p$인 베르누이 시행을 독립적으로 $100$회 반복할 때 성공 횟수를 확률변수 $X$라 하자. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, $0<p<1$)

분산 ${\sigma }^2$이 알려진 정규분포 $N(\mu ,{\sigma }^2)$을 따르는 모집단에서 임의추출한 $n$개 표본을 이용하여 유의수준 $\alpha$에서 가설 $H_0:\mu ={\mu }_0$ 대 $H_1:\mu \ne {\mu }_0$을 검정하려고 한다. 검정통계량이 $Z=\frac{\overline{X}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}$일 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, $0<\alpha <1$, ${\mu }_0$은 상수이고 $\overline{X}$는 표본평균이다)

ㄱ. $|Z|\ge z_{\alpha }$이면 $H_0$을 기각한다. (단, $z_{\alpha }$는 표준정규분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수이다)

ㄴ. ${\mu }_0$이 $\mu$에 대한 $100\times (1-\alpha )$ % 신뢰구간에 속하지 않으면 $p-$값이 $\alpha$보다 작다.

ㄷ. $Z^2\ge {\chi }_{\alpha }^2(1)$이면 $H_0$을 기각한다. (단, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수이다)

한 요인의 3개 수준 A, B, C에서 10회씩 반복 측정한 자료에 대해 요인의 수준에 따라 반응변수 $Y$의 평균에 차이가 있는지 알아보기 위하여 다음 선형회귀모형을 적합하고자 한다.

$y_i=\alpha +{\beta }_1{x}_{1i}+{\beta }_2{x}_{2i}+{ϵ}_i$ $(i=1,2,...,30)$

위 모형에서 $i$번째 자료의 요인의 수준이 A이면 $(x_{1i},x_{2i})=(0,0)$, 요인의 수준이 B이면 $(x_{1i},x_{2i})=(1,0)$, 요인의 수준이 C이면 $(x_{1i},x_{2i})=(0,1)$이다. 모수 ${\beta }_1,{\beta }_2$의 가설검정 결과에 대한 해석으로 옳은 것은? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다)