7급 국가직 통계학 2024년 기출문제

다음 그림은 어떤 자료를 성별로 요약한 상자그림을 나타낸다. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

어느 학생이 지난 학기에 수강한 4과목의 취득점수, 그리고 과목별 전체 평균과 표준편차가 다음과 같다. 각 과목에서 $A$학점을 받기 위해서는 상위 $16\%$ 안에 들어야 한다고 할 때, 이 학생이 수강한 과목 중 $A$학점을 받은 과목으로만 나열한 것은? (단, 모든 과목의 성적은 각각 정규분포를 따르고, $Z$가 $N(0,1)$을 따를 때 $P(-1\le Z\le 1)=0.68$이다)

수강과목		통계학	미적분학	영어	경제학
취득점수		85	87	90	92
전체	평균	78	82	85	90
	표준편차	5	6	4	3

어느 중학교에는 500명의 학생이 재학 중이다. 인터넷 사용 시간에 대한 조사를 수행하는 한 연구자가 성별에 따라 사용 시간에 차이가 큰 것을 알고 전체 학생을 남학생과 여학생으로 구분한 후, 남학생과 여학생의 명부로부터 각각 30명씩 무작위로 추출하였다. 이에 해당하는 확률표본추출방법은?

분산분석에 대한 다음 설명 중 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. 일원배치법에서 각 수준에서의 반복수가 반드시 같아야 한다.

ㄴ. 반복이 있는 이원배치법에서 두 인자 $A,B$ 각각의 제곱합($S{S}_A,S{S}_B$)의 자유도는 교호작용 제곱합($S{S}_{A\times B}$)의 자유도 보다 항상 작다.

ㄷ. 이원배치법에서 교호작용의 존재 여부를 파악하고자 할 경우에는 반복이 있는 이원배치법을 사용해야 한다.

다음 그림은 세 개의 스위치 $A$, $B$, $C$로 구성된 전기전달시스템을 보여 준다. 스위치 $A$가 ON일 확률은 0.8, 스위치 $B$가 ON일 확률은 0.7, 스위치 $C$가 ON일 확률은 0.6이라 하자. 각각의 스위치가 독립적으로 작동한다고 할 때, 이 시스템에서 전기가 전달될 확률은?

연속형 확률변수 $X$와 $Y$의 결합확률밀도함수가 다음과 같을 때, 옳은 것은? (단, $a$는 상수이다)

$f_{X,Y}(x,y)=\{\begin{array}{ll}axy,& 0<x<1,0<y<1\\ 0,& \text{그 외}\end{array}$

두 확률변수 $X,Y$의 결합확률분포가 다음과 같다.

$Y$ $X$	$0$	$1$
$1$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$
$2$	$\frac{1}{2}$	$0$

확률변수 $W$와 $Z$를 $W=$$-4X+3$, $Z=8Y-3$이라 할 때, 공분산 $\mathrm{Cov}(W,Z)$의 값은?

주사위를 1회 던질 때 2의 배수가 나오는 사건을 $A$, 3의 배수가 나오는 사건을 $B$, 2의 배수가 나오지 않는 사건을 $C$, 3의 배수가 나오지 않는 사건을 $D$라고 하자. 다음 중 두 사건이 서로 독립인 경우만을 모두 고르면?

ㄱ. $A,B$

ㄴ. $B,C$

ㄷ. $C,D$

평균이 $\mu$이고 분산이 ${\sigma }^2$인 정규모집단으로부터 추출된 크기 2인 확률표본을 $X_1,X_2$라고 하자. $X_1$과 $X_2$의 표준화된 확률변수를 각각 $Z_1$과 $Z_2$라고 할 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

표준편차가 6인 정규모집단에서 모평균($\mu$)에 대한 가설 $H_0:\mu =10$ 대 $H_1:\mu >10$을 검정하고자 한다. 크기 $n$의 확률표본으로부터 구해진 표본평균을 $\overline{X}$라고 하고, 이 검정의 기각역으로 $R:\overline{X}\ge 11$을 사용하고자 한다. $\mu =13$일 때, 검정력이 0.95 이상이 되도록 하는 최소 표본의 크기 $n$을 구하는 부등식은? (단, $z_{\alpha }$는 표준정규분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, $z_{0.05}=1.645,$ $z_{0.025}=1.96$이다)

평균이 $\mu$이고 분산이 ${\sigma }^2$인 모집단으로부터 추출된 크기 5인 확률표본을 $X_1,X_2,\cdots ,X_5$라고 하자. 다음에 제시된 $\mu$에 대한 추정량 중에서 불편추정량이면서 동시에 분산이 제일 작은 추정량은? (단, ${\sigma }^2>0$이다)

$T_1=\frac{X_1+X_5}{2}$, $T_2=\frac{2X_1+2X_2-X_3}{3}$,

$T_3=\frac{X_1+X_2+X_5}{4}$, $T_4=X_3+X_4-X_5$

$X_1,X_2,\cdots ,X_5$를 $(\theta ,\theta +1)$에서 균일분포(uniform distribution)를 따르는 모집단으로부터 추출된 크기 5인 확률표본이라 하고, 표본평균을 $\overline{X}$라고 하자. 모수 $\theta$에 대한 추정량으로 $\hat{\theta }=\overline{X}-\frac{1}{2}$을 사용할 때, 이 추정량의 편의(bias)와 평균제곱오차(MSE)를 바르게 연결한 것은?

편의 평균제곱오차

관측 자료 $(x_i,y_i)(i=1,2,\cdots ,50)$를 이용하여 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{ϵ}_i$를 최소제곱법으로 추정한 결과 ${\hat{\beta }}_0=200,$ ${\hat{\beta }}_1=$$-0.4$를 얻었다. 설명변수의 평균이 150, 표준편차가 80이고, 추정된 회귀직선의 결정계수($R^2$)가 0.81일 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다)

ㄱ. 설명변수와 반응변수 간의 표본상관계수는 －0.9이다.

ㄴ. 반응변수의 평균은 140이다.

ㄷ. $x=100$일 때, 반응변수의 추정값은 160이다.

모수가 $\lambda$인 포아송 분포를 따르는 확률변수($X$)의 확률질량함수는 다음과 같다.

$f(x)=\{\begin{array}{l}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^x}{x!},x=0,1,2,\cdots \\ \\ 0,\text{그}\text{외}\end{array}$ ($\lambda >0$)

$X_1,X_2$를 서로 독립이며 각각 모수가 ${\lambda }_1=3,{\lambda }_2=2$인 포아송 분포를 따르는 확률변수라고 할 때, $P(X_1+2X_2=2)$의 값은?

다음은 어떤 자료에 대해 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{ϵ}_i$$(i=1,2,\cdots ,16)$를 적합한 결과와 그에 따른 해석이다. (가), (나)에 들어갈 내용으로 바르게 연결한 것은? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다. 또한 $t_{\alpha }(k)$는 자유도가 $k$인 $t$분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, $t_{0.025}(14)=2.15$, $t_{0.05}(14)=1.76$이다)

계수	추정회귀계수	표준오차	$t$-값	$p$-값
$\beta {}_0$	120	40	3	0.0096
$\beta {}_1$	1.8	0.5	3.6	0.0029

$\beta {}_0$에 대한 $95\%$ 신뢰구간은　

(가)

이고, 가설 $H_0:{\beta }_1\le 1$ 대 $H_1:{\beta }_1>1$에 대한 유의수준 $5\%$의 검정 결과 귀무가설을 기각할 수

(나)

.

(가) (나)

남자 110명, 여자 110명을 각각 임의추출하여 가장 지지하는 정당을 조사한 결과가 다음과 같다. 이 조사에서 무응답이나 중복 응답은 없다고 한다.

정당 성별	$A$	$B$	$C$	계
남자	55	30	25	110
여자	45	50	15	110

정당별 지지율이 성별에 따라 다른지를 알아보기 위해 카이제곱검정을 실시하였다. 이 검정에서 $p$-값이 속하는 범위는? (단, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, ${\chi }_{0.01}^2(2)=9.21$, ${\chi }_{0.05}^2(2)=5.99$, ${\chi }_{0.1}^2(2)=4.61$, ${\chi }_{0.01}^2(5)=15.09$, ${\chi }_{0.05}^2(5)=11.07$, ${\chi }_{0.1}^2(5)=9.24$이다)

어느 제약회사에서 코로나 치료제를 개발하기 위해 40명의 코로나 환자를 대상으로 4가지 약품에 대해 임상 시험을 진행하였다. 이 시험에서 얻은 자료로 분산분석표를 작성한 결과가 다음과 같을 때, (가) ~ (다)의 값으로 바르게 연결한 것은?

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$-값
처리	30	(가)		(다)
오차		36	(나)
계	210

(가) (나) (다)

두 모집단의 평균을 비교하기 위해 가설 $H_0:{\mu }_1={\mu }_2$ 대 $H_1:{\mu }_1\ne {\mu }_2$에 대한 검정을 실시하고자 한다. 두 모집단으로부터 각각 임의추출된 10, 12개의 자료에 대해 두 가지 검정법을 적용하였다. 방법 $A$로 독립인 두 모집단에 대한 $t$-검정, 방법 $B$로 수준이 2인 일원배치법을 적용할 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, 두 모집단은 서로 독립이며 분산이 동일한 정규분포를 따른다)

ㄱ. 방법 $A$에서의 검정통계량 $t$-값의 제곱은 방법 $B$에서의 검정통계량 $F$-값과 같다.

ㄴ. 두 검정 방법 $A$와 $B$에서의 $p$-값은 같다.

ㄷ. 방법 $A$에서의 검정통계량 $t$의 자유도는 방법 $B$에서의 검정통계량 $F$의 분자의 자유도와 같다.

어떤 화력발전소에서 배출되는 미세먼지의 일별 배출량은 표준편차가 1인 정규분포를 따르는 것으로 알려져 있다. 임의로 추출한 36일간의 미세먼지 일별 배출량의 평균과 실제 모평균의 차이가 0.1 이상일 확률을 나타내는 식은? (단, $Z$는 $N(0,1)$을 따르고, 미세먼지의 일별 배출량은 서로 독립이다)

변수 $X$와 $Y$ 사이의 관계를 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{ϵ}_i$$(i=1,2,\cdots ,n)$로 분석하고자 한다. 이를 위해 ${\beta }_0,{\beta }_1$의 최소제곱추정량 ${\hat{\beta }}_0,{\hat{\beta }}_1$을 각각 구하고 잔차 $e_i=Y_i-{\hat{\beta }}_0-{\hat{\beta }}_1{x}_i$를 구하였다. 이와 관련된 설명으로 옳지 않은 것은? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다)

0과 1로만 이루어져 있고 1의 비율이 $p$인 모집단으로부터 5개의 표본을 임의추출한 결과, 4개가 1로 관측되었다. 가설 $H_0:p=\frac{2}{3}$ 대 $H_1:p>\frac{2}{3}$에 대한 검정에서 유의확률은?

다음은 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{ϵ}_i(i=1,2,\cdots ,n)$를 적합하기 위해 어떤 자료를 요약한 결과이다. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, ${ϵ}_i$는 $N(0,{\sigma }^2)$을 따르고 서로 독립이다)

$n=12$, $\overline{x}=1.5$, $\overline{y}=8$,

${\sum }_{i=1}^{12}(x_i-\overline{x}{)}^2=10$, ${\sum }_{i=1}^{12}(y_i-\overline{y}{)}^2=90$, ${\sum }_{i=1}^{12}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=20$

어느 도시에서 특정 지역축제의 개최에 대한 찬성률($p$)을 알아보기 위해 시민 100명을 대상으로 작년에 처음 실시한 여론조사에서, 찬성률의 추정에 $95\%$ 신뢰수준을 사용하였다. 올해 실시 예정인 동일한 여론조사에서, 오차한계를 포함한 다른 조건은 모두 작년과 동일하게 하되 표본 수를 줄이기 위해 신뢰수준만 $90\%$로 바꾸고자 한다. 올해 조사해야 하는 최소 표본의 수는? (단, $z_{\alpha }$는 표준정규분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, 계산의 편의상 $z_{0.1}=1.3$, $z_{0.05}=1.6$, $z_{0.025}=2$를 사용하기로 한다)

다음은 어느 대학의 $A$학과와 $B$학과 간에 통계학 성적에 차이가 있는지를 알아보기 위해 두 학과에서 각각 11명, 16명을 임의추출하여 조사한 결과이다. 두 학과의 통계학 성적 간에 차이가 있는지를 검정하기 위한 $t$-검정통계량($t$)의 값과 유의수준 $5\%$에서의 기각역으로 바르게 연결한 것은? (단, 각 학과의 통계학 성적은 서로 독립이며 정규분포를 따르고 분산은 같다. 또한, $t_{\alpha }(k)$는 자유도가 $k$인 $t$분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수이다)

학과	표본 수	평균	표준편차
$A$	11	70	6
$B$	16	65	4

$t$-검정통계량($t$)의 값 기각역

새로 제작된 3개의 동전을 동시에 던지는 실험을 독립적으로 80회 실시하였다. 다음 표는 ‘각 실험에서 앞면이 나온 수($X$)’의 빈도(도수)를 나타낸다.

$X$	$H_0$하의 기대도수	관측도수
0	$E_1$	8
1	$E_2$	27
2	$E_3$	34
3	$E_4$	11
계	80	80

가설 ‘$H_0:$ $X$가 이항분포 $B(3,\frac{1}{2})$을 따른다’에 대한 카이제곱검정을 실시할 때, 다음 설명 중 옳지 않은 것은? (단, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수이다)