9급 국가직 통계학개론 2019년 기출문제

다음은 자료 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$에 대한 표본평균($\overline{x}$)의 성질이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. $5$개의 자료 $1,3,5,7,9$의 표본평균은 $5$이다.

ㄴ. 표본평균보다 값이 큰 자료 수와 작은 자료 수는 같다.

ㄷ. ${\sum }_{i=1}^n\left(x_i-\overline{x}\right)$의 값은 항상 $0$이다.

$P(A)=\frac{1}{3},P(B)=\frac{1}{4},P(B|A)+P(A|B)=\frac{7}{12}$일 때, $P(A\cap B)$의 값은?

다음 상자그림(box plot)에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$은 평균이 $\mu$, 분산이 ${\sigma }^2$인 확률표본(random sample)이라고 하자. 표본평균 $\overline{X}$에 대한 설명 중 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. $\overline{X}$의 분산은 $X_1$의 분산보다 크다.

ㄴ. $\overline{X}$의 기댓값은 $X_1$의 기댓값과 같다.

ㄷ. $\overline{X}$의 분산은 $n$이 커질수록 작아진다.

세 확률변수 $X_1$, $X_2$, $X_3$은 서로 독립이고, 각각의 확률분포는 다음과 같다. 변환된 확률변수 $W=X_1-2X_2+X_3$에 대해 $P(W>a)=0.05$를 만족하는 실수 $a$의 값은? (단, $z_{\alpha }$는 표준정규분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수이다)

$X_1\sim N(2,1^2),X_2\sim N(1,1^2),X_3\sim N(2,2^2)$

어느 보험회사에서 도시 근로자의 평균 나이($\mu$)를 추정하기 위하여 $64$명을 임의로 추출하여 조사하였다. $64$명 도시 근로자의 평균 나이가 $36.38$이고 표준편차가 $11.07$일 때, 모평균 $\mu$에 대한 $95\%$ 신뢰구간은? (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 $Z$에 대하여 $P(Z\ge 1.96)=0.025$, $P(Z\ge 1.645)=0.05$이다)

다음은 정부의 미세먼지 관련 정책에 대한 남녀 간 지지도의 차이를 알아보기 위해서 남녀 각각 $100$명씩을 조사하여 얻은 결과표이다. 남성의 지지율($p_1$)보다 여성의 지지율($p_2$)이 더 큰지 유의수준 $5\%$에서 검정할 때, $Z$ 검정통계량의 값($Z_0$)과 기각역을 옳게 짝 지은 것은? (단, $z_{\alpha }$는 표준정규분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수이다)

구분		지지 여부		합계
		지지함	지지하지 않음
성별	남성	$40$	$60$	$100$
	여성	$60$	$40$	$100$
합계		$100$	$100$	$200$

$Z$ 검정통계량 기각역

두 확률변수 $X$, $Y$의 상관계수에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. $X$와 $Y$의 상관계수가 $0$이면 $X$와 $Y$가 서로 독립이다.

ㄴ. $X$와 $Y$가 서로 독립이면 상관계수가 $0$이다.

ㄷ. $P\left(Y=\frac{X}{2}+1\right)=1$이면 $X$와 $Y$의 상관계수는 $\frac{1}{2}$이다.

다음은 카이제곱통계량을 이용하여 두 변수가 서로 독립인지 알아보기 위한 관측도수의 $2\times 2$ 분할표이다. 카이제곱(${\chi }^2$) 검정에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, 귀무가설이 참일 때 각 셀의 기대도수는 $5$ 이상이고, 카이제곱통계량의 값은 $k$이다)

구분		변수2		합계
		범주1	범주2
변수1	범주1	$O_{11}$	$O_{12}$	$n_{1+}$
	범주2	$O_{21}$	$O_{22}$	$n_{2+}$
합계		$n_{+1}$	$n_{+2}$	$n$

$F-$분포에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, $F_{\alpha }(k_1,k_2)$는 분자의 자유도가 $k_1$이고 분모의 자유도가 $k_2$인 $F-$분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수이다)

ㄱ. 자유도 $k_1,k_2$에 대해 항상 $F_{\alpha }(k_1,k_2)\times F_{1-\alpha }(k_2,k_1)=1$이다.

ㄴ. $T$가 자유도 $k$인 $t-$분포를 따를 때, 확률변수 $\frac{1}{T^2}$은 분자의 자유도가 $k$이고 분모의 자유도가 $1$인 $F-$분포를 따른다.

ㄷ. 서로 독립인 두 확률변수 $Z_1$과 $Z_2$가 표준정규분포를 따를 때, 확률변수 ${\left(\frac{Z_1}{Z_2}\right)}^2$은 분자의 자유도가 $1$이고 분모의 자유도가 $1$인 $F-$분포를 따른다.

중심극한정리에 대한 설명으로 ㉠, ㉡ 에 들어갈 말을 옳게 짝 지은 것은? (단, 모집단의 평균이 $\mu$이고, 분산 ${\sigma }^2$ 은 존재한다)

표본크기가 충분히 클 때, 임의의 분포에서 추출한 확률표본의 ( ㉠ )은 근사적으로 ( ㉡ )를 따른다.

㉠ ㉡

다음은 세 가지 속독법($A,B,C$)에 따라 책 읽는 시간에 차이가 있는지 알아보기 위해 일원배치분산분석법을 적용하여 얻은 분산분석표이다. 각 속독법에 $5$ 명씩 $15$ 명을 임의로 배치하여 책을 읽게 한 후, 책 읽는 시간을 측정하였다. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

구분	제곱합	자유도	평균제곱	$F-$값	$p-$값
처리	$2156$	( ㉠ )		$16.84$	$0.0003$
오차	$768$	( ㉡ )	( ㉢ )
합계	$2924$	$14$

다음은 입학 시 수학 성적($X$)과 $1$학년 때의 통계학 성적($Y$)에 대하여 단순선형회귀모형 $Y_i=\alpha +\beta X_i+{ϵ}_i$, $i=1,2,\cdots ,n$을 적용하여 얻은 결과이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, $F_{\alpha }(k_1,k_2)$는 분자의 자유도가 $k_1$이고 분모의 자유도가 $k_2$인 $F-$분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, $F_{0.05}(1,10)=4.96$, $F_{0.05}(1,11)=4.84$이다. 그리고 $t_{\alpha }(k)$는 자유도가 $k$인 $t-$분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, $t_{0.05}(10)=1.812$, $t_{0.025}(10)=2.228$, $t_{0.025}(11)=2.201$이다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F-$값
회귀	$541.69$	$1$	$541.69$	$29.04$
잔차	$186.56$	$10$	$18.66$

	회귀계수	표준오차	$t$-값
상수항	$30.04$	$10.14$	$2.96$
$X$	$0.90$	$0.17$	$5.34$

확률변수 $X$와 $Y$의 분산과 공분산은 다음과 같다. 확률변수 $W$와 $T$를 각각 $W=2X+2,T=-Y+1$이라고 할 때, $W$와 $T$의 상관계수는?

$V(X)=25,V(Y)=16,Cov(X,Y)=-10$

확률변수 $X$는 $N(\mu ,1)$를 따를 때, 가설 $H_0$: $\mu ={\mu }_0$ 대 $H_1$: $\mu ={\mu }_1$에 대한 기각역이 $R=\text{{}x:x\ge {\mu }_0+c\text{}}$로 주어진 경우, 다음 그림에서 제$1$종 오류를 범할 확률에 해당하는 영역($A$)과 제$2$종 오류를 범할 확률에 해당하는 영역($B$)을 옳게 짝 지은 것은? (단, ${\mu }_1>{\mu }_0$이고, $c>0$이다)

$A$ $B$

다음은 다이어트 종류에 따라 체중 감량 효과에 차이가 있는지 알아보기 위해 분산분석을 시행한 결과표이다. 이 결과에서 알 수 있는 내용으로 옳지 않은 것은? (단, $F_{\alpha }(k_1,k_2)$는 분자의 자유도가 $k_1$이고, 분모의 자유도가 $k_2$인 $F-$분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, $F_{0.05}(3,26)=2.98$, $F_{0.025}(3,26)=3.67$이다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F-$값
다이어트	6	3		20
오차	2.6
합계	8.6	29

자료의 수가 $n$인 표본 $(x_i,y_i)$ $(i=1,2,\cdots ,n)$에 대해 다음 두 회귀모형 $M_1$과 $M_2$를 적용하여 분석하고자 한다. 두 모형에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

$M_1$: $Y_i=\alpha +{ϵ}_i,$

$M_2$: $Y_i=\alpha +\beta X_i+{ϵ}_i$ $(i=1,2,\cdots ,n)$

ㄱ. 모형 $M_1$에서 ${\hat{Y}}_i=\overline{Y}$이다.

ㄴ. 모형 $M_2$의 결정계수는 $0$ 이상이다.

ㄷ. 모형 $M_2$의 회귀제곱합은 모형 $M_1$의 회귀제곱합보다 크거나 같다.

어떤 자판기에서 판매되는 음료수 용량은 모평균이 $\mu (mL)$이고, 모표준편차가 $5mL$인 확률분포를 따른다고 한다. 이 자동판매기에서 임의로 추출한 $100$개 음료수의 표본평균이 $150mL$일 때, 가설 $H_0:\mu ={\mu }_0$ 대 $H_1:\mu \ne {\mu }_0$에 대한 유의수준 $\alpha$에서 귀무가설을 기각하지 못하는 ${\mu }_0$의 범위는? (단, $z_{\alpha }$는 표준정규분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수이다)

다음은 금연 프로그램에 참석한 $120$명을 대상으로 직업군에 따라 금연 성공률에 차이가 있는지 조사한 분할표이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, $O_{ij}(i=1,2,3,4,j=1,2)$는 $(i,j)$ 셀에서 얻어진 관측도수이고, $E_{ij}(i=1,2,3,4,j=1,2)$는 귀무가설이 참일 때 $(i,j)$ 셀에서 얻어진 기대도수이다. ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 카이제곱분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수이고, ${\chi }^2$은 검정통계량이다)

구분		금연		합계
		성공함($1$)	성공하지 못함(2)
직업군	사무직($1$)	$15$	$15$	$30$
	자영업($2$)	$15$	$10$	$25$
	교육관련($3$)	$12$	$18$	$30$
	노동직($4$)	$18$	$17$	$35$
합계		$60$	$60$	$120$

다음 설명 중 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. 유의확률($p-$값)이 유의수준보다 작을 때 귀무가설을 기각한다.

ㄴ. 모수 $\theta$에 관한 불편추정량(unbiased estimator)의 기댓값은 $\theta$이다.

ㄷ. 검정에서 제$1$종 오류의 확률을 줄이면 제$2$종 오류의 확률도 줄어든다.