7급 국가직 통계학 2019년 기출문제

다음은 어느 회사의 방문 고객 수에 대한 자료이다. 산술평균, 중앙값, 최빈값을 모두 더한 값은?

1, 2, 3, 3, 2, 3, 4, 6

다음 사례에 해당하는 표본추출 방법은?

어느 여론조사 기관이 전국의 유권자 중 무작위로 뽑힌 1,000명에게 차기 대통령 후보에 대한 선호도를 물었다. 이때, 표본의 40 %가 A 후보를, 35 %가 B 후보를, 15 %가 C 후보를 지지하는 결과를 얻었다.

확률질량함수 또는 확률밀도함수가 될 수 없는 것은?

다음은 표본으로 조사된 5명의 양팔 길이($X$)와 키($Y$)에 대한 자료 $(x_i,y_i),i=1,\cdots ,5$이다. ${\sum }_{i=1}^5(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=23.6$일 때, 양팔 길이와 키의 표본상관계수는? (단, 단위는 cm이다)

구분	1	2	3	4	5	평균	표준편차
양팔 길이($X$)	168	165	168	169	162	166.4	2.88
키($Y$)	169	165	167	167	163	166.2	2.28

어떤 확률변수 $X$의 확률분포표가 다음과 같다. 이 모집단에서 복원추출한 크기가 2인 표본으로부터 얻은 표본평균을 $\overline{X}$라고 하자. 표본평균 $\overline{X}$의 기댓값이 $\mathrm{E}(\overline{X})=\frac{1}{4}$일 때, 표본평균 $\overline{X}$의 분산 $\mathrm{Var}(\overline{X})$은? (단, $a$는 상수)

$X$	$-1$	$0$	$1$	합계
$\mathrm{P}(X=x)$	$\frac{1}{2}-a$	$a$	$\frac{1}{2}$	$1$

$c$($c\ge 2$)개의 범주로 나누어지는 $r$($r\ge 2$)개의 다항모집단에서 $i(i=1,\cdots ,r)$번째 모집단의 각 범주에 대한 모비율은 $p_{i1},p_{i2},\cdots ,p_{ic}$이고, 관측값은 $O_{i1},O_{i2},\cdots ,O_{ic}$이고, $i$번째 모집단의 표본의 크기는 $n_i$이고 $n={\sum }_{i=1}^r{n}_i$이며, $j=1,\cdots ,c$에 대해 $O_{.j}={\sum }_{i=1}^r{O}_{ij}$이다. $r\times c$ 분할표의 동질성검정에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

질병에 대한 치료효과를 검정하기 위해 환자 10명의 치료 전과 치료 후의 검사치가 다음 표와 같다. 여기에서 $X_1,X_2,\cdots ,X_{10}$은 서로 독립이며 정규분포 $N({\mu }_X,{\sigma }_X^2)$를, $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{10}$은 서로 독립이며 정규분포 $N({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)$를 따른다. 치료 전후 검사치의 차의 모평균 ${\mu }_D$에 대해 귀무가설 $H_0:{\mu }_D=0$ 대 대립가설 $H_1:{\mu }_D>0$을 유의수준 $\alpha$에서 검정하고자 한다. 이에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, $t_{\alpha }(n)$는 자유도 $n$인 $t$분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수이다)

환자 시기	$1$	$2$	$3$	$\cdots$	$10$	평균	분산
치료 전	$X_1$	$X_2$	$X_3$	$\cdots$	$X_{10}$	$\overline{X}$	$S_X^2$
치료 후	$Y_1$	$Y_2$	$Y_3$	$\cdots$	$Y_{10}$	$\overline{Y}$	$S_Y^2$
차이($D_i=X_i-Y_i$)	$D_1$	$D_2$	$D_3$	$\cdots$	$D_{10}$	$\overline{D}$	$S_D^2$

다음은 어떤 자료를 다중선형회귀모형 $Y={\beta }_0+{\beta }_1{X}_1+{\beta }_2{X}_2+ϵ$에 적합하여 얻은 결과의 일부이다. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, 오차항 $ϵ$은 평균이 0이고 분산이 ${\sigma }^2$인 정규분포를 따른다)

모형	비표준화 계수	표준화 계수	$\cdots$	유의확률
상수	$1.793$		$\cdots$
$X_1$	$1.971$	$0.816$	$\cdots$	$0.000$
$X_2$	$-1.290$	$-1.337$	$\cdots$	$0.000$

$X_1,\cdots ,X_n$은 확률밀도함수 $f(x;\mu )=\frac{1}{\mu }{e}^{-\frac{x}{\mu }},(\mu >0,x>0)$을 따르는 확률표본이다. 모수 $\mu$의 최대가능도추정량(maximum likelihood estimator) $\hat{\mu }$에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, $\log$는 자연로그이다)

$X_1,X_2,X_3,X_4,X_5$는 서로 독립이며, 구간 $(0,1)$에서 균일분포(uniform distribution)를 따르고, $X_{(1)}$ ≤ $X_{(2)}$ ≤ $X_{(3)}$ ≤ $X_{(4)}$ ≤ $X_{(5)}$는 $X_1,X_2,X_3,X_4,X_5$의 순서통계량이라고 할 때, 기댓값 $\mathrm{E}[X_{(4)}]$는?

전체 인구의 5 %가 어떤 질병을 가지고 있다고 한다. 이 질병을 진단하는 검사 방법이 있는데, 이 검사 방법은 이 질병을 실제로 가지고 있을 때 검사 결과가 양성(positive) 반응을 나타낼 확률이 0.95, 음성(negative) 반응을 나타낼 확률이 0.05이고, 이 질병을 실제로 가지고 있지 않을 경우 검사 결과가 양성 반응을 나타낼 확률이 0.1, 음성 반응을 나타낼 확률이 0.9이다. 임의로 한 사람을 선택하여 이 검사를 한 결과가 양성 반응으로 나타났다면, 이 사람이 실제로 이 질병을 가지고 있을 확률은?

여론조사 회사에서 어떤 사항에 대한 국민의 찬성 비율 $p$를 알아보기 위해 전화 설문조사를 무작위로 실시하려고 한다. 96 % 신뢰수준에서 모든 $p$에 대한 추정량의 오차한계를 0.05이내로 하는 최소 표본의 크기 $n$을 구하는 부등식은? (단, $z_{\alpha }$는 표준정규분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, $z_{0.04}=1.75$, $z_{0.02}=2.05$이고, 모집단의 크기는 충분히 크다)

어느 가게에 월요일부터 금요일까지 방문하는 손님 수는 다음 표와 같다. 손님 수가 요일에 따라 다른지를 검정하기 위한 ${\chi }^2$ 검정통계량의 값과 유의수준 5 %에서 검정결과를 바르게 연결한 것은? (단, ${\chi }_{\alpha }^2(k)$는 자유도가 $k$인 ${\chi }^2$ 분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, ${\chi }_{0.05}^2(4)=9.49$, ${\chi }_{0.05}^2(5)=11.07$이다)

요일	월	화	수	목	금	합계
손님 수(명)	25	25	10	15	25	100

${\chi }^2$ 검정통계량의 값 검정결과

다음은 처리 수준의 수가 5인 공정에서 처리에 따른 반응값의 모평균이 차이가 있는지를 검정하기 위한 일원배치 분산분석법을 적용한 결과의 일부이다. 검정에 대한 유의확률(significance probability) $p$의 범위는? (단, $F_{\alpha }(k_1,k_2)$는 분자의 자유도가 $k_1$이고 분모의 자유도가 $k_2$인 $F$분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, $F_{0.01}(4,17)=4.67$, $F_{0.05}(4,17)=2.96$, $F_{0.1}(4,17)=2.31$이다)

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$－값
처리	220	4
잔차
전체	390	21

관측된 자료 $(x_i,y_i)$, $i=1,\cdots ,21$에서 얻은 통계량의 값이 ${\sum }_{i=1}^{21}(x_i-\overline{x}{)}^2=81$, ${\sum }_{i=1}^{21}(y_i-\overline{y}{)}^2=100$이다. 이 자료를 단순선형회귀모형 $Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_i+{ϵ}_i$에 적합하여 얻은 기울기에 대한 최소제곱추정값이 $\widehat{{\beta }_1}=-1$일 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, 오차항 ${ϵ}_i$는 서로 독립이며 정규분포 $N(0,{\sigma }^2)$을 따른다)

처리 수준의 수가 4인 인자 $A$와 처리 수준의 수가 2인 인자 $B$에 대한 반복이 없는 이원배치법의 실험에서 다음과 같은 자료를 얻었다. 분산분석 결과에서 인자 $A$와 인자 $B$가 모두 유의수준 5 %에서 유의한 것으로 판명되었다. $A_2$수준과 $B_2$수준을 조합한 실험 조건에서 모평균의 추정값은?

인자 $A$ 인자 $B$	$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$	합계
$B_1$	80	38	98	56	272
$B_2$	42	22	70	42	176
합계	122	60	168	98	448

숫자 1, 2, 3, 4가 표시된 공정한 정사면체 $A,B$ 두 개를 던져서 나오는 눈의 수를 각각 $a,b$라고 하고, 확률변수 $X=\left[\frac{b}{a}\right]$라고 할 때, 확률변수 $Y=16X$의 기댓값은? (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않는 최대 정수를 나타낸다)

$X_1,X_2,\cdots ,X_{10}$은 평균이 0, 분산이 4인 정규모집단으로부터 추출한 확률표본이고, $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_{20}$은 평균이 0, 분산이 8인 정규모집단으로부터 추출한 확률표본이다. 두 모집단이 독립일 때, 표본평균 $\overline{X}=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}{X}_i$와 $\overline{Y}=\frac{1}{20}{\sum }_{i=1}^{20}{Y}_i$를 이용한 통계량 ${\left(\frac{\overline{X}+\overline{Y}}{\overline{X}-\overline{Y}}\right)}^2$의 확률분포는?

어느 자료에서 변수 $X$와 $Y$를 평균이 0, 표준편차가 1이 되도록 각각 표준화한 변수를 $X^{\ast }$와 $Y^{\ast }$라 하자. 설명변수 $X^{\ast }$와 반응변수 $Y^{\ast }$를 절편이 있는 단순선형회귀모형에 적용하여 얻은 추정회귀식과 분산분석표에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

ㄱ. 추정회귀식의 절편은 0이다.

ㄴ. 분산분석표에서 회귀제곱합과 오차제곱합의 합은 회귀자유도와 오차자유도의 합과 같다.

ㄷ. $X$와 $Y$가 각각 설명변수와 반응변수인 절편이 있는 단순선형회귀모형에 적용하여 얻은 분산분석표의 $F-$값과 $X^{\ast }$와 $Y^{\ast }$를 이용한 분산분석표의 $F-$값은 같다.

다음은 어느 제품에 포함된 두 인자 $A$, $B$의 수준에 따라 제품의 품질이 어떤 영향을 받는지 알아보기 위해 반복이 있는 이원배치 모형을 적용하여 얻은 분산분석표의 일부이다.

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$－값
인자 $A$	16	1
인자 $B$	14	1
교호작용 $A\times B$	2
오차	8
전체		7

여기서 교호작용의 효과가 유의수준 5 %에서 유의하지 않아 교호작용을 포함하지 않는 이원배치 모형을 적용하여 재분석을 실시하였다. 다음은 재분석하여 얻은 분산분석표의 일부이다.

요인	제곱합	자유도	평균제곱	$F$－값
인자 $A$	16	1
인자 $B$	14	1
오차
전체

재분석 결과에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, $F_{\alpha }(k_1,k_2)$는 분자의 자유도가 $k_1$이고 분모의 자유도가 $k_2$인 $F$분포의 제$100\times (1-\alpha )$ 백분위수를 나타내고, $F_{0.05}(1,4)=7.71$, $F_{0.05}(1,5)=6.61$이다)